不定方程a^2=a*b^2-b^2*c+a^2*c的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-7 06:27 编辑

不定方程a^2=a*b^2-b^2*c+a^2*c的整数解
方程含3个参数abc，给定一个参数c仍是一个不定方程；
以a>1的正整数为横坐标，以b>1的正整数为纵坐标，做一个大大的二维表，依次给定一个特定的c值，在表内对应单元格中分别写入a^2-(a*b^2-b^2*c+a^2*c)之值，
经分析统计发现，给定正整数c之后，不定方程可能没有整数解，也可能有1组或多组整数解；有整数解时参数a总是不大于参数b，参数c总是不大于参数a。
令c=0，方程变成a^2=a*b^2，a=b^2，在a=1-500之间有22个整数解；
令c=1，方程变成a^2=a*b^2-b^2+a^2，0=a*b^2-b^2，a=1，在b=1-10000之间有10000个整数解；
令c=2、3、4，在a=1-500，b=1-10000之间只有一个整数解——a=1，b=1；
令c=5，在a=1-500，b=1-10000之间有2组整数解——a=1，b=1；a=4，b=8；
令c=6、7、8，在a=1-500，b=1-10000之间只有一个整数解——a=1，b=1；
令c=9，在a=1-500，b=1-10000之间有2组整数解——a=1，b=1；a=7，b=14；
令c=10，在a=1-500，b=1-10000之间有3组整数解——a=1，b=1；a=6，b=9；a=9，b=27；
令c=11、12、14、15、16、18，在a=1-500，b=1-10000之间只有一个整数解——a=1，b=1；
令c=13，在a=1-500，b=1-10000之间有2组整数解——a=1，b=1；a=10，b=20；
令c=17，在a=1-500，b=1-10000之间有3组整数解——a=1，b=1；a=13，b=26；a=16，b=64；
令c=19，在a=1-500，b=1-10000之间有2组整数解——a=1，b=1；a=17，b=51；
接下去，令c=20-37，相应的整数解组数（不包括a=1，b=1）、a和b数值是：
c 组数 a1 b1 a2 b2 a3 b3
20 0
21 1 16 32
22 0
23 0
24 0
25 1 19 38
26 2 22 55 25 125
27 0
28 2 16 24 25 75
29 1 22 44
30 0
31 0
32 0
33 3 15 20 25 50 31 124
34 0
35 0
36 0
37 3 28 56 33 99 36 216

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:30

太阳（昌建）先生不知研究此类数字结论到底如何，只知道他对参数c做了严格限制——
（一）限制c是大于1的模9余1的奇数，且不能是5的倍数数，模9余1的奇数有1,19,37,55,73,91……；不计1和55，还有19,37,73,91,109,127,163,181,199……等。
（三）限制c是奇数，但不能是模9余1的奇数，且不能是3的倍数数，5的倍数数，具体包括的奇数有7,11,13,17,23,29,31,41,43,47,49,53,59,61,67,71,77,79,83,89,97,……等；
都是与30互素的整数，但不包括19,37,73，不包括91,217,253,289等。
按理说，当c取（一）中的奇数时，如果不定方程有整数解，则c=ty，t必是素数——如果c是素数，令y=1，t一定是素数；如果c是二合数，则c总能分解出一个素因子t，故t必是素数；
同样，当c取（三）中的奇数时，如果不定方程有整数解，则c=ty，t必是素数——如果c是素数，令y=1，t一定是素数；如果c是二合数，则c总能分解出一个素因子t，故t必是素数。
然而不论（一），还是（三）中的参数c均包括有素数，二合数，三合数，四合数……；如果c是三合数、四合数……，3个、4个素因子任意两个组合成一个复合因子t，t还是素数吗？
太阳先生反复强调，已知：***，方程***有整数解，求证：t=p（t是素数），有何道理？

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:33

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-7 06:39 编辑

笔者，详细研究了不定方程a^2=a*b^2-b^2*c+a^2*c的整数解构成和分布，
当c取（一）中的奇数（包括5的倍数数）时，不定方程皆有整数解，
当c=19,55,91,127,……时不定方程多有1组整数解，有的奇数还要多一些；c=37,73,109,145……时不定方程多有3组整数解，有的奇数还要多一些：
c 解数 a1 b1 b1/a1 a1增
19 1 17 51 3 ——
55 1 49 147 3 32
91 1 81 243 3 32
127 1 113 339 3 32
163 2 145 435 3 32
199 1 177 531 3 32
235 1 209 627 3 32
271 1 241 723 3 32
307 1 273 819 3 32
343 1 305 915 3 32
379 1 337 1011 3 32
415 1 369 1107 3 32
451 4 401 1203 3 32
487 2 433 1299 3 32
523 1 465 1395 3 32
559 1 497 1491 3 32
595 1 529 1587 3 32
631 1 561 1683 3 32
667 1 593 1779 3 32
703 1 625 1875 3 32
739 1 657 1971 3 32
775 1 689 2067 3 32
811 2 721 2163 3 32
847 1 753 2259 3 32
883 2 785 2355 3 32
919 1 817 2451 3 32
955 1 849 2547 3 32
991 1 881 2643 3 32

对于c=163,487,811；883各有第2组整数解，但883与163,487,811不是一类数字：
c 解数 a2 b2 b2/a2 a2增 a2-a1
163 2 161 1449 9 —— 16
487 2 481 4329 9 320 48
811 2 801 7209 9 320 80
883 2 865 6055 7 80 ——

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:34

c 解数 a1 b1 a2 b2 a3 b3 b1/a1 b2/a2 b3/a3 a1增
37 3 28 56 33 99 36 216 2 3 6 ——
73 3 55 110 65 195 71 426 2 3 6 27
109 3 82 164 97 291 106 636 2 3 6 27
145 7 109 218 129 387 141 846 2 3 6 27 第246组解
181 3 136 272 161 483 176 1056 2 3 6 27
217 3 163 326 193 579 211 1266 2 3 6 27 推算
253 3 190 380 225 675 246 1476 2 3 6 27 推算
289 5 217 434 257 771 281 1686 2 3 6 27 第124组解
325 9 244 488 289 867 316 1896 2 3 6 27 第346组解
361 3 271 542 321 963 351 2106 2 3 6 27 推算
397 3 298 596 353 1059 386 2316 2 3 6 27 第124组解
433 5 325 650 385 1155 421 2526 2 3 6 27 推算
469 3 352 704 417 1251 456 2736 2 3 6 27 推算
505 4 379 758 449 1347 491 2946 2 3 6 27 推算
541 3 406 812 481 1443 526 3156 2 3 6 27 推算
577 6 433 866 513 1539 561 3366 2 3 6 27 第124组解
613 3 460 920 545 1635 596 3576 2 3 6 27 推算
649 5 487 974 577 1731 631 3786 2 3 6 27 推算
685 4 514 1028 609 1827 666 3996 2 3 6 27 推算
721 6 541 1082 641 1923 701 4206 2 3 6 27 推算
757 3 568 1136 673 2019 736 4416 2 3 6 27 推算
793 3 595 1190 705 2115 771 4626 2 3 6 27 推算
829 3 622 1244 737 2211 806 4836 2 3 6 27 推算
865 5 649 1298 769 2307 841 5046 2 3 6 27 推算
901 6 676 1352 801 2403 876 5256 2 3 6 27 推算
937 3 703 1406 833 2499 911 5466 2 3 6 27 推算
973 5 730 1460 865 2595 946 5676 2 3 6 27 推算
1009 4 757 1514 897 2691 981 5886 2 3 6 27 第124组解

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:44

接3楼
对于c=451=11*41，是一个特例，有4个整数解，其中的第2个整数解是主题整数解（b/a=3）：
c 解数 a b b/a
451 1 209 285 1.363636364
451 2 401 1203 3
451 3 433 2165 5
451 4 449 6735 15
1351 1 1057 2265 2.142857143
1351 2 1201 3601 2.998334721
1351 3 1297 6485 5
1351 4 1345 20175 15
2251 1 2001 6003 3
2251 2 2161 10805 5
2251 3 2241 33615 15
推算，c=1351时有4个整数解，其中的第2个整数解是主题整数解（b/a=3）；c=2251时有3个整数解，其中第1个主题整数解（b/a=3）；另各有一组b/a等于5和15的整数解。

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:47

对于太阳命题（三）中的参数c的整数解组数为：
c 解数 c 解数 c 解数 c 解数 c 解数
49 2 319 0 517 1 697 1 869 1
77 1 323 0 527 0 707 0 871 0
119 0 329 1 529 2 713 1 889 1
121 1 341 1 533 1 731 0 893 1
133 1 371 0 539 0 737 2 899 0
143 0 377 1 551 1 749 1 913 0
161 2 391 0 553 1 763 0 917 1
169 1 403 0 581 1 767 0 923 0
187 0 407 0 583 0 779 0 931 0
203 0 413 1 589 3 781 1 943 0
209 2 427 0 611 0 791 0 949 1
221 1 437 1 623 0 799 0 959 0
247 0 473 1 629 1 803 0 961 3
259 0 481 2 637 1 817 2 979 0
287 0 493 1 671 0 833 3 989 1
299 0 497 2 679 0 841 1 1001 4
301 4 511 0 689 2 851 1 1003 0
其中相当多的c无整数解，有整数解的解也没有什么规律可循。

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:49

命题3正例
c a b b/a
49 37 74 2
49 46 184 4
77 58 116 2
121 91 182 2
133 100 200 2
161 121 242 2
161 151 604 4
169 127 254 2
209 157 314 2
209 196 784 4
221 166 332 2
301 154 220 1.428571429
301 226 452 2
301 289 1445 5
301 298 2980 10
329 247 494 2
341 256 512 2
377 283 566 2
413 310 620 2
437 328 656 2
473 355 710 2
481 361 722 2
481 451 1804 4
493 370 740 2
497 373 746 2
497 466 1864 4
517 388 776 2
529 397 794 2
529 496 1984 4
533 400 800 2
551 529 2645 5
553 415 830 2
581 436 872 2
589 442 884 2
589 577 4039 7
589 586 8204 14
629 472 944 2
689 517 1034 2
689 646 2584 4
697 523 1046 2
713 535 1070 2
737 553 1106 2
737 691 2764 4
749 562 1124 2
781 586 1172 2
817 613 1226 2
817 766 3064 4
841 631 1262 2
851 817 4085 5
869 652 1304 2
889 667 1334 2
893 670 1340 2
917 688 1376 2
949 712 1424 2
961 721 1442 2
961 901 3604 4
961 946 7568 8
989 742 1484 2
1037 778 1556 2
1057 793 1586 2
1057 991 3964 4

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:50

命题3反例
c a b b/a
637 478 956 2
833 196 224 1.142857143
833 625 1250 2
833 781 3124 4
833 820 6560 8
847 753 2259 3
1001 511 730 1.428571429
1001 751 1502 2
1001 961 4805 5
1001 991 9910 10

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:56

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-7 06:59 编辑

对参数c不做限制，当c是等差整数时：
c 组数 a b b/a a增
5 1 4 8 2 ——
9 1 7 14 2 3
13 1 10 20 2 3
17 2 13 26 2 3
21 1 16 32 2 3
25 1 19 38 2 3
29 1 22 44 2 3
33 3 25 50 2 3
37 3 28 56 2 3
41 1 31 62 2 3
45 1 34 68 2 3

c 组数 b1/a1 b2/a2 a1增 a1-b1 a2-b2
10 2 1.5 3 6-9 9-27
28 2 1.5 3 10 16-24 25-75
46 2 1.5 3 10 26-39 41-123
64 2 1.5 3 10 36-54 57-171
82 4 1.5 3 10 46-69 73-219
100 2 1.5 3 10 56-84 89-267
对于c=82，另有2组整数解78-351比4.5，81-729比9的。

顺延，c每增加18的整数解组数分别为：
c 组数 c 组数 c 组数
118 2 262 2 406 5
136 2 280 2 424 2
154 2 298 2 442 8
172 2 316 2 460 2
190 2 334 2 478 2
208 2 352 2 496 2
226 6 370 2 514 2
244 5 388 2 532 2

yangchuanju · 发表于 2024-7-7 06:57

多组整数解个例：
c 组数 a b b/a
82 1 46 69 1.5
82 2 73 219 3
82 3 78 351 4.5
82 4 81 729 9
226 1 126 189 1.5
226 2 190 475 2.5
226 3 201 603 3
226 4 217 1085 5
226 5 222 1665 7.5
226 6 225 3375 15
244 1 136 204 1.5
244 2 196 441 2.25
244 3 217 651 3
244 4 232 1044 4.5
244 5 241 2169 9
406 1 161 207 1.285714286
406 2 226 339 1.5
406 3 361 1083 3
406 4 386 1737 4.5
406 5 401 3609 9
442 1 153 189 1.235294118
442 2 246 369 1.5
442 3 273 441 1.615384615
442 4 393 1179 3
442 5 406 1421 3.5
442 6 433 3031 7
442 7 438 4599 10.5
442 8 441 9261 21

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