求 n 阶[0,0,…，0,1；0,0,…,1,0；…；0,1,…,0,0；1,0,…,0,0]在相合变换下的标准形

wilsony

谁能求解？

luyuanhong

此题的解答过程与前面几个帖子是相似的，但因为矩阵大，写起来很麻烦，所以就直接写出结果了：

wilsony

谢谢陆老师倾心指教！过程中是否应该补充点内容?
n为偶数时，用二阶小矩阵对原大矩阵的二阶子矩阵做相合变换可以转化成二阶对角标准形。
是否应该总共要做k次（不同位置）的该变换，变成k个二阶对角形，然后再做列和行位置变
换才能将整个原大矩阵转化成大的对角标准形？
n为奇数时，对原大矩阵的中央三阶子矩阵做相合变换变成1，1，-1的三阶对角阵后，是否
应该还要对原大矩阵用与n为偶数时相同的二阶小矩阵在不同位置做k-1次相合变换，变成k-1
个二阶对角形和1个三阶对角形，然后再做列和行位置变换才能将整个原大矩阵转化成大的
对角标准形？

wilsony

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luyuanhong

wilsony 发表于 2024-8-3 09:22
谢谢陆老师倾心指教！过程中是否应该补充点内容?
n为偶数时，用二阶小矩阵对原大矩阵的二阶子矩阵做相合变 ...

你的想法是对的，不过要向外行人详细说明其中的一些概念，例如“用二阶小矩阵对原大矩阵的二阶子矩阵做相合变换”到底是什么意思，并且证明为什么可以这样做，还是很麻烦的。

wilsony

        陆老师，我还是有点概念问题没想明白。
       在原大矩阵的不同位置生成小的二阶1，-1对角阵后，要把它变换到大矩阵主对角线位置上的标准形对角阵能通过相合变换做到吗？
相合变换是连续做两次相似的行和列变换，对于这道题而言，斜对角的原大矩阵，有这样的相合变换吗？

wilsony

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wilsony

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wilsony

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luyuanhong

wilsony 发表于 2024-8-4 14:32
陆老师，我还是有点概念问题没想明白。
       在原大矩阵的不同位置生成小的二阶1，-1对角阵后， ...

不太明白你说的是什么意思，最好举一个具体例子。