实数 a≥b，c≥d，｜a｜+2｜b｜+3｜c｜+4｜d｜=1，求 P=(a-b)(b-c)(c-d) 的最小最大值

ccmmjj126

求助一道最值题

以前看到的，不知道该怎么下手，今天又看到，求助会的人。用柯西不等式吗？

cgl_74

我暂时没找到简洁的取巧方法。
但是用基本分类法，可以按经典求极值的方法解出来。比如，我解出最大值为：a = 4/9, b=1/9, c=0, d=-1/12, P大=1/（12*27）. 假如我计算没错的话。同样方法可求最小值。

cgl_74

1. a, b, c,d 是有限区间的连续值。P必然有最大值和最小值。最大值和最小值要么在极值点上，要么在边界上。
2. P最大值：是大于0的。必然有b>=c. 即有a>=b>=c>=d。且d<=0，（否则d换成-d，那么c-d值变大）。下面分类：
    1. a>=b>=c>=0 >=d:
    2. a>=b>=0>=c >=d:
    3. a>=0>=b>=c >=d:
    4. 0>=a>=b>=c>=d:

下面列举1的做法：

ataorj

-1/2   <=   a   <=   1
-1/2  <=  b  <=  1/2
  -1/4 <= c <= 1/3
  -1/4<=d<=1/4

     0<=   a-b  <=  3/2=18/12
-5/6<=  b-c <=    3/4=9/12
     0<=c-d<=7/12

三项，(a-b)+(b-c)+(c-d)=a-d
|a-d|尽量大且三项尽量等分它才有极值结果
-3/4<=a-d<=5/4

ataorj

, 5/4/3=5/12
d c b a:
-1/4 2/12 7/12 1
所以三项积P最大值=(5/12)^3 约=0.072

ataorj

三项中因为只有b-c可为负数，取b-c最小值-10/12时，a-b和c-d恰巧都可取最大值：
d c b a:
-1/4 1/3 -1/2 1
所以三项积P最小值=(1+1/2)(-1/2-1/3)(1/3+1/4)=3*5*7/12/12 约=-0.73

cgl_74

什么乱七八糟的解法？

ataorj

我忘了需要符合题目中=1那个式子了，抱歉

ccmmjj126

cgl_74 发表于 2024-8-4 19:10
1. a, b, c,d 是有限区间的连续值。P必然有最大值和最小值。最大值和最小值要么在极值点上，要么在边界上。 ...

看完了，这个思路很好，特别转化为非负数 ti 的这一步，有令人豁然开朗之效。
兄解题能力强大，不知在哪高就？

王守恩

给出答案(省略了过程)。希望有人找出反例来(一个就行)。正整数: A, B, C, D, K。

实数 a≥b，c≥d，A｜a｜+B｜b｜+C｜c｜+D｜d｜=K，A≤B≤C≤D≤2A+B。

(a-b)(b-c)(c-d) 最大值=K^3/(27D*A*(A+B))