\(\Large\color{red}{实数集可数定理和证明}\)

APB先生

任意多个实数的集合都是可数集。实数集不可数定理是世纪谎言 ！！

APB先生

      说 1 个实数如 \(x_1\) 不可数的人是骗子；
      说 n 个实数如 \(x_1{,}\ x_2{,}\ \cdots{,}\ x_n\) 不可数的人是骗子；
      说 n+1 个实数如 \(x_1{,}\ x_2{,}\ \cdots{,}\ x_n{,}\ x_{n+1}\) 不可数的人是骗子；
      …………
      说实数集如区间 \(\left[ \left( 0{,}\ 1\right)\right]\) 不可数的人都是大骗子；其所谓的对角线法证明是伪证。

APB先生

      区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 的全体实数集是可数集 ；因为它们能够与自然数集 \(\left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^{n\to\infty}-1\right\}\) 建立一一对应：
\[\left| \left( 0{,}\ 1\right)\right|=\left| \left\{ \frac{1}{10^n}{,}\frac{2}{10^n}{,}\cdots{,}\frac{10^n-1}{10^n}\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|\]

APB先生

      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 可数；
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 可数；
      …………
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 可数；\[1=0.\dot{0}1+0.\dot{9}9{,}\ \ \ \ \ \ \left\{ \dot{0}=000\cdots\right\}\ \sim\ \left\{ \dot{9}=999\cdots\right\}\] \(0.\dot{0}1\ \) 叫做：无穷小小数 ；\(0.\dot{9}9\) 叫做：无穷大小数。

elim

A P B后生的东西其实与楞种的尿床地图没有太大区别．
活该被数学社会永久无视．

APB先生

      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 可数；
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 可数；
      …………
      \(\left( 0{,}\ 1\right)\supset\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 可数；\[1=0.\dot{0}1+0.\dot{9}9{,}\ \ \ \ \ \ \left\{ \dot{0}=000\cdots\right\}\ \sim\ \left\{ \dot{9}=999\cdots\right\}\] \(0.\dot{0}1\ \) 叫做：无穷小小数 ；\(0.\dot{9}9\) 叫做：无穷大小数。

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集。
\[0.\dot{0}1\ \prec\ 0.\dot{9}9\]
      

APB先生

      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 1\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 1 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      ……………………
      \(\left[ 0{,}1\right]\ \ 的\ \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\ \ \) 是可数集 ！可与 \(1{,}\ 2{,}\ \cdots\) 对等 ！
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\ 是\) 可数集：\[\left| \left[ 0{,}\ 1\right]\right|\ \sim\ \left| N\right|\]

APB先生

      区间 \(\left( 0{,}\ 1\right)\) 的任意位实数都肯定能与自然数建立一一对应：\[\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}\ \Longleftrightarrow\ \left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 10^n\right\}{,}\ \ \ \ \ \ n\in N\]