万有引力定律有 bug ？如果两个物体之间的距离无限趋近于零，引力就会无穷大吗？

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万有引力定律有 bug ？如果两个物体之间的距离无限趋近于零，引力就会无穷大吗？

原创 魅力科学君 魅力科学君 2024 年 06 月 20 日 11:23 四川

对于万有引力定律，相信大家都不陌生，通常我们会将其内容理解为，任何两个具有质量的物体之间都存在引力，引力的大小与它们的质量成正比，与它们距离的平方成反比。那么问题就来了，如果两个物体之间的距离无限趋近于零，那它们之间引力就会无穷大吗？



正如我们所知，万有引力定律的数学公式为“F = Gm1m2/r^2”，其中 F 代表两个物体之间的引力、G 代表引力常数，m1 和 m2 分别代表两个物体的质量，r 为两个物体之间的距离，据此我们似乎可以推测出，如果 r 无限趋近于零，那F就应该会趋向于无穷大。

然而在日常生活中，这样的情况却不会发生，毕竟我们经常把两个物体紧紧地挨在一起，却从未见过“引力无穷大”这样的情况，那这是否意味着万有引力定律有 bug 呢？下面我们就来讨论一下这个问题。

实际上，万有引力定律应该严谨地表述为：“任何两个质点之间都存在通过其连心线方向上的相互吸引的力，其大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比”。

需要知道的是，所谓质点，是指一个具有质量但没有体积的点，这只是物理学中的一个理想化模型，而在我们的日常生活中，这样的点根本就不存在，因为我们所能见到的任何有质量的物体，都是有体积的，所以当我们在讨论两个物体之间的引力时，“两个物体之间的距离”，应该准确地定义为“两个物体质心之间的距离”。



举个例子，假设有两个半径为 5 厘米的实心铁球，现在我们把它们紧紧地挨在一起，在这种情况下，即使这两个铁球之间不留一点缝隙，它们质心之间的距离仍然会有 10 厘米，根本就算不上“距离无限趋近于零”，而由于引力常数的值非常小（约为 6.672×10^-11 N·m^2/kg^2），因此这两个铁球之间的引力就极为微小，以至于可以忽略不计。

那么，如果把这两个铁球的半径不断缩小，让它们的质心无限接近，它们之间的引力是不是就可以无穷大了呢？其实不然。

因为这两个铁球的质量与它们的体积成正比，而它们的体积则与它们自身半径的立方成正比的，这就意味着，在这两个铁球的半径不断缩小的过程中，万有引力公式中的分母不可能缩小得比分子快。

例如，如果我们把这两个铁球的半径缩小为原来的一半，那在万有引力公式中的分母就会缩小成原来的 4 分之 1 ，而分子上的两个铁球质量的乘积，则会缩小到原来的 64 分之 1 ，如此一来，当然就不可能出现“引力无穷大”这样的情况了。

那么，假如我们在一个大铁球的中间挖一个洞，然后将一个小铁球放在这个洞里，那我们就可以让大小两个铁球的质心之间的距离无限趋近于零，甚至直接重叠起来，在这种情况下，引力是不是就可以无穷大了呢？



其实也不行。根据高斯定理可以推导出，在一个半径为 R 的球体内部距离球心为 r 的位置上，可以看成是只会受到这个球体半径为 r 这部分质量产生的引力，因为 r 到 R 这部分“球壳”的质量所产生的引力，其合力为零。

由此可知，假如我们真的在一个大铁球的质心位置挖一个洞，然后将一个小铁球放在这里，那它们之间的引力也不会无穷大，而当大小两个铁球的质心完全重叠的时候，引力反而会减小为零。

看到这里，可能有人会问了，假如我们能够在质量保持不变的情况，不断地压缩两个铁球的半径，进而使它们质心之间的距离无限趋近于零，这样总该可以让它们之间的引力无穷大了吧？对于这个问题，爱因斯坦表示有话要说。



根据爱因斯坦提出的《广义相对论》可以推导出，对于任何具有质量的物体来讲，只要它的自然半径被压缩到小于或等于一个特定的值，它就会成为一个黑洞，这个特定的值被称为“史瓦西半径”。值得一提的是，与常见物体的自然半径相比，“史瓦西半径”其实是非常小的，例如地球的“史瓦西半径”就大约为 9 毫米。

也就是说，如果我们真的有能力在质量保持不变的前提下不断压缩两个铁球，那它们最终就会成为两个极为微小的黑洞。

而根据《广义相对论》对黑洞的描述，在黑洞的中心位置有一个“奇点”，它的体积无限小，密度无限大，因此我们根据万有引力定律就可以推导出，假如我们可以让这两个黑洞的“奇点”之间的距离无限趋近于零，那它们之间的引力就会无穷大。



然而我们并不能就此认为万有引力定律有 bug ，而只能说万有引力定律存在自身的局限性，黑洞的“奇点”已经超出了该理论的适用范围，实际上，任何一种理论都有自身的局限性，而对于黑洞的“奇点”，目前所有的物理理论其实都不适用，《广义相对论》也不例外，所以才有这样一种说法：在黑洞的“奇点”处，所有已知的物理定律都会失效。

魅力科学君