已知 α≥β≥γ 且 α+β+γ=π／2 ，求 cosαsinβcosγ 的最大值和最小值

中国上海市

已知α≥β≥γ≥0且α+β+γ=π/2，求cosαsinβcosγ的max及min

Nicolas2050

解:
∵α、β>0,α+β+γ=π／2且α+β<π/2,
故依三元均值不等式及Jensen不等式,得
cosαsinβcosγ＝cosαsinsβsin(α+β)≤[(cosα+sinβ+sin(α+β))/3]^3,
而cosα+sinβ+sin(α+β)
=sin(π/2-α)+sin(β)+sin(α+β)
≤3sin[((π/2-α)+(β)+(α+β))/3]
．．．．

波斯猫猫

题：已知 α ≥β≥γ≥0， 且 α+β+γ=π／2 ，求 cosαsinβcosγ 的最大值和最小值.

思路：因α ≥β≥γ≥0， 且 α+β+γ=π／2 ，故 π／2 ≥α ≥β≥γ≥0，且cosαsinβcosγ≥0.

(1)显然，当α=π／2 ，β=γ=0时，有(cosαsinβcosγ)min=0.

(2)显然，当γ=0时，有cosαsinβcosγ≤cosαsinβ=cos(π／2-β)sinβ=(sinβ)^2≤1/2

(由α ≥β≥0，且 α+β=π／2，有β ≤ π／4，且sinβ在[0，π／4]上是增函数)，

故当α=β=π／4，γ=0时，有(cosαsinβcosγ)max=1/2.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。