\(\Large\textbf{基础数学}{\text{ vs.}}\textbf{数学基础}\)

elim

大家谈谈自己理解的【基础数学】与【数学基础】概念？

elim

个人看法, 基础数学不是一个数学概念，什么内容属于基础数学是很主观的事情。
从基础数学版块的内容看，任何学校里面教的数学内容都算基础数学，而需要继续
研究的数学课题都是较高深的数学。

至于数学基础，它的涵义却非常明确，就是研究丰富多样的数学的共同逻辑依据，
哲学依据，真相依据的学科。

elim

附上华师大孙伟的【分析基础】一书。内容涵盖了不少数学基础的
话题。给个初步印象吧。

elim

mathmatical  去哪里了？ 跟主楞一起走了吗？

APB先生

       华师大孙伟的【分析基础】一书的不可数集定义： 我们说无限集 X 是不可数集，如果 \(\left| X\right|\ \ne\ \left| N\right|\)。 换言之，不可数集是基数不等于 N 之基数的无限集。本文认为这个定义是错误的；因为 \(\left| X\right|\ \ne\ \left| N\right|\) 共有小于和大于二种情况：当 \(\left| X\right|\ <\ \left| N\right|\) 时，无限集 \(X\) 必是可数集；当 \(\left| X\right|\ >\ \left| N\right|\) 时，无限集 \(X\) 必定是多个可数集之并。

elim

\(|N|\) 是最小无穷基数。所以楼上 APB 的论断是错误的。

APB先生

       华师大孙伟的【分析基础】一书的不可数集定义： 我们说无限集 X 是不可数集，如果 \(\left| X\right|\ \ne\ \left| N\right|\)。 换言之，不可数集是基数不等于 N 之基数的无限集。
       本文认为这个定义是错误的：
       因为在集系中，只有可数集和若干可数集之并，而不可数集是根本不存在的。
       因为无限集 X 的 1 个元素可数、…， n 个元素可数，n+1 个元素可数，所以无限集 X 的任意多个元素都可数\[\left| X\right|\ =\ \left| N\right|\]
       因为 \(\left| X\right|\ \ne\ \left| N\right|\) 共有小于和大于二种情况：当 \(\left| X\right|\ <\ \left| N\right|\) 时，无限集 \(X\) 必是可数集；当 \(\left| X\right|\ >\ \left| N\right|\) 时，无限集 \(X\) 必定是多个可数集之并。
       所以华师大孙伟的【分析基础】一书的不可数集定义是错误的。

       感谢 elim 提供宝贵的参看资料。但请给出 |N| 是最小无穷基数的证明。

elim

APB先生 发表于 2024-8-15 05:27
华师大孙伟的【分析基础】一书的不可数集定义： 我们说无限集 X 是不可数集，如果 \(\left| X\right ...

【定理】\(\aleph_0=|\mathbb{N}|\) 是最小无穷基数.
【证】设\(E\) 是无穷集，若 \(|E|\le |\mathbb{N}|\), 则有\(E\)到\(\mathbb{N}\)的单射\(f\). 于是\(S=f(E)\)
\(\qquad\) 是\(\mathbb{N}\)的无穷子集，其元素从小到大可排列成\(s_0, s_1, s_3\ldots.\)
\(\qquad\) 于是 \(g(n)=f^{-1}(s_n)\) 是\(\mathbb{N}\)到\(E\)的1-1对应．即\(|E|= |\mathbb{N}|.\quad\square\).
【推论】若\(|E|<\aleph_0\) 则 \(E\) 是有限集，\(|E|\in\mathbb{N}\).


【注记】本贴作了较大修订。但没有改口原来的结论.

APB先生

elim 发表于 2024-8-15 21:00
APB 不知道比\(|\mathbb{N}|\) 小的基数只能是有限数？

设\(E\) 是无穷集，若存在\(|\mathbb{N}|\) ...

      “比 \(\left| N\right|\) 小的基数只能是有限数”可能不对。例如区间 (0,1) 的基数与 \(\left| N\right|\) 相等；因为区间 (0,1) 的每一个有限数和无限数 \(0.a_1a_2\cdots\) 都对应自然数 \(a_1a_2\cdots.0\) \[0.a_1a_2\cdots\ \leftrightarrow\ a_1a_2\cdots.0\] ；所以区间 (0,1) 的基数与 \(\left| N\right|\) 相等\[\left| \left( 0{,}\ 1\right)\right|\ =\ \left| N\right|\]所以 (0,1) 可数。

elim

APB先生 发表于 2024-8-15 20:03
“比 \(\left| N\right|\) 小的基数只能是有限数”可能不对。例如区间 (0,1) 的基数与 \(\left| N\ ...

这些东西久已尘埃落定。但对每个初学者都不容易。