为什么阿拉伯数字系统比罗马数字系统更先进？

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为什么阿拉伯数字系统比罗马数字系统更先进？



作者 | [意]皮耶尔乔治·奥迪弗雷迪

译者 | 张密 马迪

来源 | 摘自《天才闪耀时：改变世界的 20 位科学巨匠》，人民邮电出版社，2024 年 8 月

到现在为止，我已经讲了古埃及人和古希腊人的故事，现在你是不是期待古罗马人登场了？古罗马人是意大利人的祖先。不过很遗憾，我必须告诉你一个令人失望的消息。

古罗马人对科学的热情不高，甚至他们对待科学家的态度也不友好，从他们对阿基米德的所作所为就可以看出这一点。

历史记载，罗马人和迦太基人为争夺地中海的霸权曾互相厮杀。在第二次布匿战争时期，叙拉古后来与迦太基结成了联盟。作为报复，罗马人长期围困叙拉古。

然而这座城市坚不可摧，这要归功于阿基米德设计的大规模防御工事和大量武器。但是，一些“亲罗马”人士从内部向敌人敞开了大门。

就这样，这座城市最终沦陷，遭受了无情的洗劫。

有一个传说讲到，一个罗马士兵闯入阿基米德的家中，看到他正在专注地工作。士兵命令他停下来跟自己走，但这位科学家回答道：“等我解决完这个问题再说。”结果，这个不耐烦的士兵用剑刺穿了他。



阿基米德很可能是被误杀的，或者是被不认识他的人所杀。事实上，罗马人知道他是有用之才，统领军队的执政官马塞勒斯曾下令要活捉他。

总而言之，罗马人更偏爱技术和实用之物，而不是科学和理论思想，这是不争的事实。不过，罗马人是杰出的建筑师，他们建造了无数的城市、道路、引水渠、凯旋门和露天剧场。

你肯定知道，其中最著名的就是古罗马斗兽场，在那里上演着毫无人性的角斗表演，而这些表演深受古罗马人的喜爱。你可不要感到吃惊，因为在如今的电视和互联网上也能看到类似的决斗。

当然，古罗马人用他们贫乏而机械的语言书写了一些东西，给我们留下了一些关于历史、哲学和诗歌的书籍，但是，除了卢克莱修[1]的《物性论》，几乎没有科学方面的著作。本书的后面会讲到这本书。

现在，我要让你亲眼看看古罗马人在数学方面是何等笨拙和落后。

我猜你在学校里对罗马数字可能有一些了解，一般都是出于好奇才去了解的。那么，你应该可以用罗马数字写出你的年龄，或者一年的天数（365）。但是，如果一直使用罗马数字，你能将这两个数相乘，写出到目前为止你活了多少天吗？

恐怕不能。这不仅是因为没有人告诉过你要这么做，而且连古罗马人自己也不知道该怎么算。为了计算，他们不得不使用算盘（abacus）。

“abacus”在希腊语中的意思是“算数板”。古希腊人书写数字的方式比古罗马人更原始：他们用的是字母表中的字母。这就是为什么他们的两大史诗《伊利亚特》和《奥德赛》各有 24 章。为什么是 24 呢？因为那是希腊字母表中的字母数量，每一个字母代表一章，按字母顺序排列。

最初，罗马数字系统非常简单。用 Ⅰ 表 示 1 ， 用 X 表 示 10 ， 用 C 表 示 100 ， 用 M 表示 1000 ，以此类推。

但是追求简单也要付出代价，它并非没有缺点，有时会造成不便。一个缺点是，即使是较小的数也可能会写得很长。比如，666 得写成 CCCCCCXXXXXXIIIIII 。

另一个缺点是，随着数变大，所需的符号也会增多。比如，要写 10 000 ，有两个选择。要么把 M 重复 10 次 ，得到一个难以辨认的 MMMMMMMMMM ，要么发明一个新符号来表示万位数。

古罗马人解决了这两个问题。为了避免过多的重复，他们引入了新符号。例如，用 V 表示 5 ，L 表示 50 ，D 表示 500 。这样，666 就可以简化为 DCLXVI。

为了避免引入过多的新符号，他们对现有符号进行了修改，在现有符号上方添加一个小横线，来表示原数乘以 1000。因此，1 万用表示，10 万用表示，100 万用表示。

顺便说一句，虽然你可能会觉得很奇怪，但罗马数字中符号的顺序并不重要，因为想要表示的数只是各个部分加在一起的结果。例如，DCLXVI 和 IVXLCD 之间没有差别，两者都表示 666 。

后来，事情变得更加复杂。特别是引入了顺序规则之后，需要拿后边较大的数字减去前边较小的数字[2]。如此一来 CDXLIV 变成 IVXLCD 后，就不再表示 666 了，而是变成了 444 。

所以现在，无须多言，你自己应该也感觉到了，最好还是放弃古罗马人的数字系统吧，听听那些比他们脑子更好使的人是怎么说的吧。

你可能在学校学的就是阿拉伯数字，从而推断我们是从阿拉伯人那里学来的。事实上是这样的，但这只是故事的一部分。

实际上，阿拉伯人也是从印度人那里学到的。所以，更准确地说，我们现在使用的是经过阿拉伯人“转手”而来的印度数字。将阿拉伯数字与罗马数字比较时，你会发现很多奥妙。

首先，罗马数字中似乎有数不清的不同的数字符号。从 X 开始，后面的数都是前面的那个数的 10 倍，比如，X、C、M、、、（分别表示 10、100、1000、10 000、100 000、1 000 000），等等。而阿拉伯数字只有数量有限的不同符号，每个符号代表的数字都小于 10 ，即 1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 。

其次，需要注意的是，现在使用的数字系统中，还有“0”来表示数字零。这正是印度人真正的天才之举，古希腊人想都没有想过。对你来说，0 显得平常无奇，因为你从小就见惯了。但古希腊人理解不了这一点，因为他们的哲学思想阻碍了他们的思路。实际上 0 是虚无和空无的象征。对于古希腊哲学家来说，虚无和空无是不可能存在的概念。

而印度的思想家更务实一些，他们使用数学来计算收支。在账本中，既会有用正数表示的收益，也会有用负数表示的支出。

如果一个人的收益和支出一样多，那么他的账目就是平衡的，就像左右两边重量相等的天平。而“0”的作用就是表示这种收支平衡的状态，而将正数与负数分开来的也是这个 0 。

但有一点尤为重要，0 可以用来占位！要表示一个数，我们只需决定按某种顺序来排列其位数就可以了。例如，按从右向左的顺序，第一位数字表示个位数，第二位表示十位数，第三位表示百位数。而 0 在多位数中起到占位作用，比如 201 中的 0，表示十位上没有正数。总之，只要多位数里某一位缺少正数，0 正好能补在空位上。

这样，我们就不再需要为 10 的幂次方设计不同的符号，来表示百位数、千位数、万位数了。每个数只需以 1 及 1 以上的正数开头，然后根据其后面的位数加上相应数量的 0 。这样，罗马数字 X 可以简化成阿拉伯数字的 10 ，C 可以简化成 100 ，M 可以简化成 1000 ，等等。我们并没有确切地知道这些数字系统具体是如何一步步发展完善的，也不清楚究竟是谁逐渐用阿拉伯数字代替了罗马数字。但我们知道，在公元 500 年左右，在笈多王朝统治下的印度，已经存在详细描述十进制系统的文献，人们已开始使用十进制。

在 825 年，一位名叫花拉子密[3]的数学家在巴格达写了一本名为《印度数字算术》[4]的著作。

这本书的开头是这样说的：“我决定介绍印度人的计算方法，他们使用 9 个数字，再加上一个圆形的 0 作为第 10 个数字。我还要展示由于它们简单、简洁，这些数字可以表示所有的数。”

这位先生名字的最后一部分“花拉子密”（al -Xorazmiy）表明了他的出生地。你可能从未听说过花拉子密地区。它位于中亚，首府是希瓦，位于今天的乌兹别克斯坦。很多年前我去过那里，我感觉时间仿佛停在了我们这位花拉子密数学家所在的时代。

但是就算你不知道，你也肯定听说过“花拉子密”，因为正是从这个名字的拉丁文译名 Algoritmi 衍生了我们今天都在使用的术语“算法”（algorithm）。

这个词的意思是，非常精确的数学公式，就像花拉子密在他的书中所写的那样。比如，你在小学学过的两数相乘的计算规则。

如今，大家之所以使用“算法”一词，是因为这些规则是如此精确，以至于计算机都可以理解和执行。通过计算机的语言，它们被记录下来，就成了程序。本书的后面会讨论计算机及其程序。花拉子密的另一本著作是《代数学》。就算不太懂代数，你也应该听说过。在阿拉伯语中，“代数”被写为“al-jabr”，它在英语中变成了“algebra”。这可是你从初中开始学习的科目，并且在高中会继续学习。

花拉子密的盛名万世流芳，因为他的著作在世界各地广为流传。

当时包括整个北非和西班牙都受到了他的影响。由此，他的数学思想，从十进制系统到代数，逐渐传播到了欧洲。

1202 年，花拉子密的数学思想传到了意大利，这要归功于莱昂纳多·斐波那契所著的《计算之书》[5]。他试图说服同时代的人，阿拉伯数字远比古罗马人使用的算盘要好得多。

但是“算法家”和“算盘家”之间的争论又持续了很长时间，因为那些老顽固们往往更容易被糟糕的老师误导，而不容易被优秀的老师说服。[6]

编者注：

[1] 古罗马诗人、哲学家和思想家，其著作《物性论》是一部哲学长诗，主要阐述了古希腊唯物主义哲学家伊壁鸠鲁的原子论，旁及认识论和伦理学，对后世唯物主义的发展产生了深远影响。

[2] 比如，在罗马数字中，4 表示为 IV ，它是通过用表示 5 的 V 减去表示 1 的 I 得出的。

[3] 波斯数学家、天文学家、地理学家，代数与算术的整理者。花拉子密（约 780—850）被誉为“代数之父”。

[4] 《印度数字算术》详细介绍了印度 - 阿拉伯数字系统，包括 0 的概念和位置计数法。这本书被翻译成拉丁文后，极大地影响了欧洲的数学发展。

[5] 《计算之书》的内容涉及算术、代数、几何和问题解决等数学知识。作者还收集了中世纪时期用于解决日常问题的数学方法及其在商贸、度量衡、货币换算、单利复利计算等各种场合的应用。本书在世界数学史上占有重要地位。

[6] 这句话的意思是，在很长一段时间里，欧洲人，包括数学家，仍在辩论和适应新的十进制系统和计算方法，花费了不少时间逐渐摒弃传统的罗马数字和算盘计算方法。这反映了新旧计算方法之间的过渡和冲突，以及人们对于新知识的接受和适应过程。

原创 奥迪弗雷迪 好玩的数学 2024 年 08 月 09 日 06:02 江西