为何一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1)，只知道 i^2=-1 即可？

永远

求助于陆老师，最近思考问题时的疑问…………

下图内容节选自北师大版高中数学教辅




陆老师晚上好！请看图片右侧小字深度剖析部分，在\({i^2} =  - 1\)中，并没有规定\(i =  \pm \sqrt { - 1} \)还是\(i = \sqrt { - 1} \)或\(i =  - \sqrt { - 1} \)，一般情况下并不研究\(i\)的值，只知道\({i^2} =  - 1\)即可。

我的问题是：为什么没有规定\(i =  \pm \sqrt { - 1} \)还是\(i = \sqrt { - 1} \)或\(i =  - \sqrt { - 1} \)到底\(i\)等于啥？

luyuanhong

问  为什么说：“一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1)，只知道 i^2=-1 即可”？

答  这句话就是告诉我们：

    在数学中，虚数单位 i 主要用于解  x^2+1=0 之类的方程，问这样的方程有几个解？方程的解是什么？

所以我们只需要知道 i^2=-1 即可，由此就可以回答：方程 x^2+1=0 有且仅有两个解，即 x=i 和 x=-i 。

    至于 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1) ，只不过是对数学记号的人为的规定，没有实际的数学意义，

目前在数学上好像也没有统一的规定，所以我们不必纠结于这样的问题。

永远

luyuanhong 发表于 2024-8-12 08:31
问  为什么说：“一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1)，只知道 i^2=-1 即可”？

答 ...

陆老师晚上好，请看下图中大红色波浪线记号处：注释 \(\sqrt { - 1}  =  \pm i\)

图片内容来源于：北京教育出版社 （2024年4月第4次印刷）高中数学教辅

请问写成:\(\sqrt { - 1}  =  \pm i\) 有问题吗？又或者这样写对不对？？？

luyuanhong

√(-1)=±i 也就是 i=±√(-1) ，是前面帖子所说的几种不同写法中的一种，当然也是可以接受的。

永远

luyuanhong 发表于 2024-8-13 09:24
√(-1)=±i 也就是 i=±√(-1) ，是前面帖子所说的几种不同写法中的一种，当然也是可以接受的。

请问陆老师下面的公式在复数范围内成立吗？

\(\sqrt {ab}  = \sqrt a  \times \sqrt b \)

luyuanhong

问  请问公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内成立吗？

答  如果规定：当 a 是一个复数（复数中也包括实数）时，√a 表示一切满足 z^2=a 的复数的集合，那么 √(ab)=√a×√b 是可以成立的。

    例如，当 a=1 时，因为一切满足 z^2=a=1 的复数由 z=1 和 z=-1 组成，所以按照规定，就应该有 √1=±1 。

    又例如，当 a=-1 时，因为一切满足 z^2=a=-1 的复数由 z=i 和 z=-i 组成，所以按照规定，就应该有 √(-1)=±i 。

    在这样的规定下，当 a=b=-1 时，因为 √a=√(-1)=±i ，√b=√(-1)=±i ，所以 √a×√b 是下列四种情况的集合：

    (+i)×(+i)=-1 ，(+i)×(-i)=+1 ，(-i)×(+i)=+1 ，(-i)×(-i)=-1 。

    可见 √a×√b 可取两种不同的值：+1 和 -1 ，√a×√b 是由 +1 和 -1 组成的集合，所以 √a×√b=√(-1)×√(-1)=±1 。

    另一方面，按照规定，√(ab)=√[(-1)×(-1)]=√1=±1 。

    可见，在这样的规定下，√(ab)=√a×√b 是可以成立的。

    但是，在现在的数学中，并没有这样的规定。而且这样的规定，与现在的数学中对正实数开方的规定 √1=1 也是矛盾的。

    因此，在没有这样的规定的情况下，就不能说公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内一定成立了。

永远

luyuanhong 发表于 2024-8-15 10:16
问  请问公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内成立吗？

答  如果规定：当 a 是一个复数（复数中也包括实数 ...

另外请问陆老师公式 \(\sqrt a  \times \sqrt b  = \sqrt {ab} \)在复数范围内成立吗？

假设\(\sqrt a  \times \sqrt b  = \sqrt {ab} \)在复数范围内成立的话，不妨再

假设规定\(i = \sqrt { - 1} \)，则\({i^2} = i \times i = \sqrt { - 1}  \times \sqrt { - 1}  = \sqrt { - 1 \times \left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)，那么得到结论：\({i^2} = 1\)不是我们想要的。

同理，假设规定\(i = - \sqrt { - 1} \)，则\({i^2} = i \times i =  - \sqrt { - 1}  \times \left( { - \sqrt { - 1} } \right) = \sqrt { - 1 \times \left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)，那么得到结论：\({i^2} = 1\)也不是我们想要的。

再假设规定\(i =  \pm \sqrt { - 1} \)还是会得到\({i^2} = 1\)的结论。

cgl_74

你的这个帖子大家都可以看到。所以我补充两句。
1、在实数域范围，指数函数的定义是明确的，要求底数要大于0. 然后通过极限定义，把指数从整数拓展到分数（即有理数），再用极限收敛的法则，用有理数无限逼近无理数，从而把指数值拓展到无理数。即指数拓展到整个实数范围。
2、为什么底数要大于0？因为指数从整数拓展到分数时，就存在纠纷。比如(-1)^(2/4)这种表达，到底是先做2次方再开4次方呢，还是先开4次方再2次方？更不用说拓展到无理数领域。比如(-1)^e到底是多少？因为用有理数逼近无理数e时，极限根本不收敛，它是正数还是负数都不知道，所以这个表达没有意义。
3、回到复数域。从群论的观点看，域只需要定义加减乘除法。指数运算其实是无需定义的。注意，整数次方本质是乘法运算，不严格是指数运算。而且，一种运算必须是给定输入，只能有一个输出，不可能有2种以上的输出。所以，在整个复数域，是不存在指数运算这个操作符的，因为要么是没有结果定义，要么是存在多种可能结果，不唯一。

总结下结论的话，就是(-1)^0.5不是一个严谨的运算表达式，没有运算符的意义。如果是解方程是另一回事，x^2 =- 1, 确实对应2个复数解。