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为何一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1),只知道 i^2=-1 即可?

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发表于 2024-8-11 23:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 永远 于 2024-8-12 21:53 编辑

求助于陆老师,最近思考问题时的疑问…………

下图内容节选自北师大版高中数学教辅




陆老师晚上好!请看图片右侧小字深度剖析部分,在i2=1中,并没有规定i=±1还是i=1i=1,一般情况下并不研究i的值,只知道i2=1即可。

我的问题是:为什么没有规定i=±1还是i=1i=1到底i等于啥?

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发表于 2024-8-12 08:31 | 显示全部楼层
  为什么说:“一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1),只知道 i^2=-1 即可”?

  这句话就是告诉我们:

    在数学中,虚数单位 i 主要用于解  x^2+1=0 之类的方程,问这样的方程有几个解?方程的解是什么?

所以我们只需要知道 i^2=-1 即可,由此就可以回答:方程 x^2+1=0 有且仅有两个解,即 x=i 和 x=-i 。

    至于 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1) ,只不过是对数学记号的人为的规定,没有实际的数学意义,

目前在数学上好像也没有统一的规定,所以我们不必纠结于这样的问题。
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 楼主| 发表于 2024-8-12 22:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2024-8-12 22:55 编辑
luyuanhong 发表于 2024-8-12 08:31
问  为什么说:“一般情况下不研究 i=±√(-1) 还是 i=√(-1) 或 i=-√(-1),只知道 i^2=-1 即可”?

答 ...


陆老师晚上好,请看下图中大红色波浪线记号处:注释 1=±i

图片内容来源于:北京教育出版社 (2024年4月第4次印刷)高中数学教辅

请问写成:1=±i 有问题吗?又或者这样写对不对???




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发表于 2024-8-13 09:24 | 显示全部楼层
√(-1)=±i 也就是 i=±√(-1) ,是前面帖子所说的几种不同写法中的一种,当然也是可以接受的。
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 楼主| 发表于 2024-8-14 00:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2024-8-15 22:22 编辑
luyuanhong 发表于 2024-8-13 09:24
√(-1)=±i 也就是 i=±√(-1) ,是前面帖子所说的几种不同写法中的一种,当然也是可以接受的。


请问陆老师下面的公式在复数范围内成立吗?

ab=a×b
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发表于 2024-8-15 10:16 | 显示全部楼层
  请问公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内成立吗?

  如果规定:当 a 是一个复数(复数中也包括实数)时,√a 表示一切满足 z^2=a 的复数的集合,那么 √(ab)=√a×√b 是可以成立的。

    例如,当 a=1 时,因为一切满足 z^2=a=1 的复数由 z=1 和 z=-1 组成,所以按照规定,就应该有 √1=±1 。

    又例如,当 a=-1 时,因为一切满足 z^2=a=-1 的复数由 z=i 和 z=-i 组成,所以按照规定,就应该有 √(-1)=±i 。

    在这样的规定下,当 a=b=-1 时,因为 √a=√(-1)=±i ,√b=√(-1)=±i ,所以 √a×√b 是下列四种情况的集合:

    (+i)×(+i)=-1 ,(+i)×(-i)=+1 ,(-i)×(+i)=+1 ,(-i)×(-i)=-1 。

    可见 √a×√b 可取两种不同的值:+1 和 -1 ,√a×√b 是由 +1 和 -1 组成的集合,所以 √a×√b=√(-1)×√(-1)=±1 。

    另一方面,按照规定,√(ab)=√[(-1)×(-1)]=√1=±1 。

    可见,在这样的规定下,√(ab)=√a×√b 是可以成立的。

    但是,在现在的数学中,并没有这样的规定。而且这样的规定,与现在的数学中对正实数开方的规定 √1=1 也是矛盾的。

    因此,在没有这样的规定的情况下,就不能说公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内一定成立了。
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 楼主| 发表于 2024-8-15 23:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2024-8-15 23:20 编辑
luyuanhong 发表于 2024-8-15 10:16
问  请问公式 √(ab)=√a×√b 在复数范围内成立吗?

答  如果规定:当 a 是一个复数(复数中也包括实数 ...


另外请问陆老师公式 a×b=ab在复数范围内成立吗?

假设a×b=ab在复数范围内成立的话,不妨再

假设规定i=1,则i2=i×i=1×1=1×(1)=1=1,那么得到结论:i2=1不是我们想要的。

同理,假设规定i=1,则i2=i×i=1×(1)=1×(1)=1=1,那么得到结论:i2=1也不是我们想要的。

再假设规定i=±1还是会得到i2=1的结论。
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发表于 2024-8-23 16:33 | 显示全部楼层
你的这个帖子大家都可以看到。所以我补充两句。
1、在实数域范围,指数函数的定义是明确的,要求底数要大于0. 然后通过极限定义,把指数从整数拓展到分数(即有理数),再用极限收敛的法则,用有理数无限逼近无理数,从而把指数值拓展到无理数。即指数拓展到整个实数范围。
2、为什么底数要大于0?因为指数从整数拓展到分数时,就存在纠纷。比如(-1)^(2/4)这种表达,到底是先做2次方再开4次方呢,还是先开4次方再2次方?更不用说拓展到无理数领域。比如(-1)^e到底是多少?因为用有理数逼近无理数e时,极限根本不收敛,它是正数还是负数都不知道,所以这个表达没有意义。
3、回到复数域。从群论的观点看,域只需要定义加减乘除法。指数运算其实是无需定义的。注意,整数次方本质是乘法运算,不严格是指数运算。而且,一种运算必须是给定输入,只能有一个输出,不可能有2种以上的输出。所以,在整个复数域,是不存在指数运算这个操作符的,因为要么是没有结果定义,要么是存在多种可能结果,不唯一。

总结下结论的话,就是(-1)^0.5不是一个严谨的运算表达式,没有运算符的意义。如果是解方程是另一回事,x^2 =- 1, 确实对应2个复数解。
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