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\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}E_n=E\iff \lim_{n\to\infty}\chi_{E_n}=\chi_E\)

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发表于 2024-8-16 09:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2024-9-18 16:01 编辑

【定义】记\(\Omega\) 为论域,\(A\subseteq\Omega,\;A^c=\Omega-A\). 称
\(\qquad\quad \chi_A:\;\chi_A(x)=\begin{cases}1,& x\in A;\\ 0, & x\in A^c.\end{cases}\) 为 \(A\)的特征函数.
【注记】由上定义,\(A = \{x\mid \chi_A(x) = 1\} = \chi_A^{-1}(1)\).
\(\qquad\quad\)易见 \(\underset{\overset{\;}{k\ge n}}{\inf}\chi_{A_k}\big(\underset{k\ge n}{\sup}\chi_{A_k}\big)=\chi_{\cap_{k\ge n}A_k}\big(\chi_{\cup_{k\ge n}A_k}\big)\).
\(\qquad\quad\)因此有以下定理:
【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}E_n=E\iff \lim_{n\to\infty}\chi_{E_n}=\chi_E\)
【例】令 \(A_n:=\{m\in\mathbb{N}: m>n\}\),则 \(\chi_{A_n}(m)=\begin{cases} 0,& m\le n;\\ 1,& m > n.\end{cases}\)
\(\qquad\)于是\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\chi_{A_n}(m) = 0\;(\forall m\in\mathbb{N})\) 即 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\chi_{A_n}=0=\chi_{\varnothing}\)
\(\therefore\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = \varnothing.\quad\square\)
 楼主| 发表于 2024-8-19 03:41 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2024-8-21 12:59 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2024-8-21 13:23 | 显示全部楼层
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发表于 2024-9-10 06:22 | 显示全部楼层
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发表于 2024-9-10 15:08 | 显示全部楼层
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发表于 2024-9-11 16:07 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2024-9-11 22:00 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2024-9-15 03:58 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2024-9-16 01:10 | 显示全部楼层
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