概率论回顾：贝叶斯

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概率论回顾：贝叶斯

原创 陈暖暖 橙暖暖 2024 年 07 月 20 日 21：51 湖北

贝叶斯公式的思想是深刻的，应用也是极其广泛。这里我们只关注其和全概率公式直接的应用。做法是利用条件条件概率，由于



也就有贝叶斯公式



对分母的 P(B) 应用全概率公式，即有



这个表达式最主要的作用，就是将后验概率以及分情况讨论融合在了一起。

【例】一个盒子里装着 a 个白球 b 个黑球，第二个盒子里装着 c 个白球 d 个黑球。（1）从第一个盒子里随机拿 2 个球到第二个盒子里，随即从第二个盒子里拿了一个球看了一眼，是白球。问转移的 2 个球是同色的概率是多大；（2）从第一个盒子转移1个球进第二个盒子，问从第二盒子中拿出白球的概率是多少？

解法上就是利用全概率公式，事件 {Ai} 为从盒子 1 中转移的情况，事件 B 为盒子 2 中拿出白球的情况。从利用一个表格说清楚：



接下来的做法就很明确了，利用贝叶斯定理即可计算各 P(Ai|B) ，并让两黑两白的概率相加即可。



（2）第二问考虑的是全概率公式，也是分情况讨论：



最后的答案就是



条件概率和贝叶斯公式在概念是容易混淆：条件概率更多是考虑有先验知识了，对我们关注事件的影响。贝叶斯则是已知结果了，返过来看先验知识。我们用例题体会一下：

【例】某种检测方法的准确性 95% ，若一个来自 100000 人口地区的人被检测为阳性，该地区患病人口 2000 ，请问该检测者患病概率的几率。

已知患病的概率为 2% ，令患病事件定义为 {A>0} ，反之为 {A<0} 。检测为阳性的事件为 {B>0} ，阴性为 {B<0} 。那我们关注的事件的概率为 P(A| B>0) 。利用上面的知识，概率为



其中的关键就是计算阳性的概率 P(B>0) ，这里利用全概率公式考虑，阳性的情况为 (a) 患病+准确检测以及 (b) 不患病+不准确检测。对应

    P(B>0)=P(B>0|A>0)P(A>0)+ P(B<0|A<0)P(A<0)=0.95×0.2+0.05×0.98 。

代入表达式



这说明了，如果我们是随机抽取一个人做检测，即使测出了阳性，它患病的概率也就为 27.8% 。如果我们有此人患病的先验知识，则测出阳性则有 95% 的吻合度。

【例】有 4 个盒子，盒子 1 有 2000 个零件，其中 5% 为次品。盒子 2 有 500 个零件，40% 是次品；盒子 3 和 4 有 1000 个零件，10% 为次品。随机抽取盒子并从中拿一个零件：

（a）求取到次品的概率。

抽到次品的事件为 {B} ，盒子的编号为 {Ai} ，这个直接套用全概率公式

   P(B)=0.25×0.05+0.25×0.4+0.25×0.1+0.25×0.1=0.1625 。

（b）检查零件发现是次品，问来自盒子 2 的概率。

很自然现在就会有贝叶斯了，