梅森素数特别判定法

yangchuanju

已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
亦或如果不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c有正整数解，则2^p-1是素数；否则如果不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c无正整数解，则2^p-1是合数。

yangchuanju

太阳先生，您梦寐以求的梅森素数公式被我抢先找到了！
别再像一只无头的苍蝇到处乱碰、乱蒙啦！

太阳

如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
命题肯定是错误，方程有整数解，判断它是素数，没有整数解解，判断它是合数，方向弄反掉了，这是自相矛盾
可能这样方程是不存在，有整数解，判断它是素数，没有整数解，判断它是合数
有整数解，合数的素因子构成，有整数解越多，基本判断它是合数

太阳

我也考虑过这样方程，也没有了找到这样方程，有整数解，判断它是素数，没有整数解，判断它是合数

yangchuanju

令p=5，r=1,2,3,……,31，余数表为——                                                       
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)       
8        0        -2        2        2        2        123.9354839       
23        0        -2        2        2        2        8958.935484       
14        8        0        -2        2        2        1214        不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^5-1)=c有正整数解，则2^5-1是素数；
17        8        0        -2        2        2        2657        方程共有4个正整数解，r=14,17,5,26，其中14+17=5+26=31，
5        23        0        -2        2        2        17        一半正整数解小于31/2，一半正整数解大于31/2，由于正整数解较多，我们可以只求其中的一半小整数解即可。
26        23        0        -2        2        2        14654        另r=8、23时，第1余数r2=0，且8+23=31。

yangchuanju

令p=7，r=1,2,3,……,127，余数表为——                                                       
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)       
16        0        -2        2        2        2        507.984252       
111        0        -2        2        2        2        1194942.984       
48        16        0        -2        2        2        41726        不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^7-1)=c有正整数解，则2^7-1是素数；
79        16        0        -2        2        2        306497        方程共有4个正整数解，r=48,79,42,85，其中48+79=42+85=127，
42        111        0        -2        2        2        24446        一半正整数解小于127/2，一半正整数解大于127/2，由于正整数解较多，我们可以只求其中的一半小整数解即可。
85        111        0        -2        2        2        410801        另r=16、111时，第1余数r2=0，且16+111=127。

yangchuanju

令p=9，r=1,2,3,……,255，余数表为——                                                       
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)       
32        0        -2        2        2        2        2043.996086        不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^9-1)=c没有正整数解，则2^9-1是合数；
178        0        -2        2        2        2        1964283.996        已求出方程的2个r2=0解，r=32,178，另2个可根据511-32=和511-178=求出，
75        2        2        2        2        2        61875.00391        全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。
0个数        2        0        0        0        0               

太阳

1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^13-1)=c，n=1624，n最小值也是很难找到，判断8191是素数，
怎么能快速找到n最小值？有整数解，难度大，非常困难
1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^13-1)=c，n=1624，试除法判断8191是素数，增加复杂难度
1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^11-1)≠c，没有整数解？找到捷径方法判断它没有整数解？

太阳

1楼主帖，肯定是错误，不可能是正确
方程有整数解，合数的素因子构成，素数也构成，有整数解越多，基本判断它是合数

yangchuanju

令p=11，2^11-1=2047，r=1,2,3,……,1023，余数表为——                                               
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
622        -1        -1        -1        -1        -1        0
64        0        -2        2        2        2        0
915        0        -2        2        2        2        0
0个数        2        0        0        0        0        大于0的个数是0

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^11-1)=c没有正整数解（0表示无整数解），则2^11-1是合数；
已求出方程的2个r2=0解，r=64,915，另2个可根据2047-64=和2047-915=求出，
全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。