关于微分的对偶异世界

luyuanhong

关于微分的对偶异世界

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 30 日 07:30 陕西



在文章的开头还是来做一点免责声明吧，免得被喷的很惨。学高数和学分析的人，应该都接触过可微分和可导这两个概念，尽管这两个概念在单变量微积分的时候是完全一样，但在多变量微积分的时候就会产生不同，而且一般教科书上，关于可微分和可导的定义也有所不同，从形式上来看，我们在定义可微分的时候，主要是利用加减法和一个高阶无穷小符号的引入，可导则主要是差商极限的形式。

我们这期推送的思路事实上来源于函数可微分的灵感，但是我们又不想提出这个概念，所以我们引入了一些奇奇怪怪的东西，然后产生了一些奇奇怪怪的论述，并且用这种奇怪的论述解决了一些问题，好了，废话不多说，让我们开始吧。

开始的时候我们在普通的实数系统中引入一个新数字或符号，用 ε 表示，为了称呼的方便，我们给这个符号一个名字叫对偶单位。它真的很简单，并且具有 ε^2 = 0 和 ε ≠ 0 的两个性质。那么形式为 a + bε 的数字叫做对偶数，其中 a 和 b 是实数，分别称为实部和对偶部分。恩，简直就是盗版复数嘛！但显然二者是不同的。

对偶数字的运算也很简单，就是实部加实部，对偶部分加对偶部分，不过我们增加一条禁令，我们不允许除以 bε 形式的数字，这对我们稍后的讨论来说很重要。这个简单的数字系统初看起来毫无意义，但我向你保证，我们能够用它做一些有用的事情。

我们来观察一下，乘以对偶共轭（实部保持不变，对偶部分变成负数），即 (a + bε)(a - bε) = a^2 ，这跟复数的性质大部相同，此外，通过考虑将函数展开为其相应的幂级数（泰勒级数），然后利用对偶数来耍一些花招。



我们令 x=εx 则：



这是因为所有的高次幂都等于 0 ，同样的手法我们还可以得到一些奇怪的等式：



这在正常人的世界中当然是完全错误的，但在这个奇怪的对偶世界中，恩，它是正确的，我们现在就生活在这样一个奇怪的世界。

利用这种方法来计算导数

在考虑对偶数的函数时，有一个等式特别有用即：



其中 x 和 b 均为实数。当我们令 b = 1 时，就会得到下面的方程：



要提醒大家注意的是，这种等式的成立，只对解析函数成立，我们不会过多讨论这个问题，但在使用这种技术时，还要小心一点，不要滥用。

看看，上面我们的表达式中除了没有极限之外，它看起来多么像导数的正常定义重新改写后的形式。也许你很想通过除法将 f' (x) 从上面的表达式中分离出来，但请记住，我们不能除以 ε 。

现在我们可以看看这种对偶数的威力了，让我们从简单的开始。例如，f(x) = x^2 。我们需要计算 f(x + ε) = (x + ε)^2 = x^2 + 2xε ，和上面的方程比较，我们就会知道 f(x) 的导数为 2x 了。

让我们试试更复杂的。f(x) = sin(x) 怎么样？利用三角函数的性质，我们可以得到



注意 cosε=1 ，sinε=ε ，之前我们推导过，因此, f'(x) = cos(x) 。

看起来相当有效，那像 x 的平方根这样在 x=0 处不可导的函数呢？更棘手的问题呢？在这里，我们需要耍点小聪明，但还是可以做到的。让我们把上面的方程写下来：



现在将两边平方，并利用对偶单位 ε 的性质，我们得到



通过比较两部分，我们得出：



改写一下：



好了，我们使用了一些代数技巧得出了上述结果，但对于像自然对数这样不善于求和的函数，该怎么办呢？我们能用这种方法进行微分吗？假设我们不知道自然对数的导数是多少，用 DL(x) = d/dx ln(x) 表示。那么我们可以写出下面方程：



在两边取（自然）指数函数，得到



现在我们可以比较两边的对偶部分，得出 xDL(x) = 1 的结论，这意味着 DL(x) = 1/x 或用更标准的符号 d/dx ln(x) = 1/x 。

好吧。让我们用最后一个挑战来结束这些计算，求函数 f(x) = x^x 的导数



其中我们使用了上文的几个推导性质。由此可见，导数是这个表达式的对偶部分，即：



你当然可以继续用这种方法求导数，我们可以用它来“证明”所有微分的一般规则。例如，我们用它来证明乘积法则。



这就立即得出了 h' (x) = f' (x)g(x) + f(x)g' (x) ，让我们试着计算商法则。



也许你还会问链式法则是怎么回事？计算 h(x) = f(g(x)) 的导数。那么我们可以写出



注意在第三个等号中，需要把 g' (x) 作为一般方程中的常数 b 。我们现在用三行证明了链式法则，这一切都要归功于这个奇妙的对偶世界。



围城里的猫