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费马大定理——这个证明包你懂!

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发表于 2024-9-16 18:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
费马大定理——这个证明包你懂!

作者:张天蓉 | 发表时间:2024-9-7 22:42 | 个人分类:系列科普 | 系统分类:科普集锦

费马看到毕达哥拉斯定理,扩展思路得到了一个猜想,然后还轻描淡写地撂下一句话,说他有个精妙的证明但空白太小写不下!然后,他的猜想折腾了数学家们三百多年……

从费马的经历和性格而言,并不像是那种大吹牛皮的人。奇怪的是,在他所有的信件中,费马也没有提到他证明了费马大定理。也可能他原以为自己证明了,后来又突然意识到实际上他并没有证明?但又忘记了曾经写过的那条书边评注?


图 1 :欧拉和费马大定理

不过,根据费马的说法,他当时应该是证明了点儿什么,也许证明了某种特殊情况?

100 年后,欧拉证明了 n=3 时的费马猜想:即“任何正整数的立方,不可能表示成另外两个正整数立方之和”。据说欧拉去翻过费马的手稿,终于在一个不起眼的地方发现了费马对 n=4 的证明。因此,费马的确证明了 n=4 时的费马大定理,费马也声称用他的无穷递降法他也证明了 n=3 的情况。n=4 是费马大定理最简单的情况,下面给出 n=4 的证明,包你能看懂!(n=3 和 n=4 的证明,思路是类似的)。

一,证明思路:


图 2 :费马大定理 n=4

证明的思路如图 2 所示,

1,证明更强的命题:“x^4+y^4=z^2 没有正整数解”,来证明“x^4+y^4=z^4 没有正整数解”;

2,利用毕达哥拉斯三元组(勾股数:a,b,c)的性质;

3,运用费马的“无穷递降法”完成证明。

解释如下:

第 1 点比较明显,稍加思考就能明白;

第 2 点涉及勾股数:勾股数是符合毕达哥拉斯定理的 3 个正整数。勾股数有如下性质:

三者(a,b,c)互质的勾股数是素勾股数,任何勾股数都可化简为素勾股数,素勾股数可以写成一种形式:

  a=2mn ,b=m^2-n^2 ,c=m^2+n^2 。

有关勾股数的更多性质见维基百科【1】。

第 3 点谈到的无穷递降法【2】,是证明的核心,简单且有趣,在下一节中介绍。

然后,在最后一节写出简单的证明过程。

二,无穷递降法:

这种方法特别适合数论中证明某个“没有正整数解”的命题。它基于一个简单的事实:很容易就能找到一个无限递增的正整数序列,其中每一项都比前一项大:例如图 3 左图列举的整数序列(1、2、3、4、…)和整数立方序列(1、8、27、64、…)等。但是,你不可能能得出一个无限的正整数序列,其中每一项都比前一项小。例如,无论你从多大的数开始,只要是递减,整数序列注定会终止。所以,费马说:不存在无限长的正整数递减序列,任何正整数递减序列迟早会停止。基于这个道理,如果你从某个命题得到了这样的正整数递减序列,那么就可以用反证法证明这个命题不存在。

费马这个看似简单的定理在数论上很有用,因此也有着深远的数学意义。

举个很容易理解的例子来理解无穷递降法。例如,证明方程 xy+y^2=x^2 没有正整数解【3】。


图 3 :无限递降法

如图 3 右图,得到 a,b 的方程 ab+b^2=a^2 ;然后使用代数将其重写为 (a+b)/a=a/b;(事实上是黄金分割的表达式)。然后画出一个 a×(a+b) 矩形,其中包含一个 a×a 正方形和一个 a×b 矩形,如图所示,用几何方式表示该方程。大的 a×(a+b) 矩形与小的 a×b 矩形是相似的:将前者旋转 90 度并将其缩小,即可得到后者。因此,大矩形是黄金矩形,较小的矩形与大矩形相似,也是一个黄金矩形;小黄金矩形又可以分解为一个正方形和一个更小的黄金矩形,并且可以依此类推地进行。如果 a、b 是实数,可以无穷无尽地进行下去。但是,如果大矩形的边 a 和 (a+b) 都是整数,那么,a 和 b 也是整数。于是,我们就得到了一个无限小下去的正整数序列。根据无限递降原理,这是不可能的。所以,矩形不存在,即满足方程的正整数不存在,证毕。

三,证明过程:费马大定理(n=4 的情况):x^4+y^4=z^4 没有正整数解【4】

我们通过证明更强的命题“x^4+y^4=z^2(方程 1)没有正整数解”来证明 n=4 的费马大定理【1】。

假设有一个正整数组合 (x,y,z) 满足方程 1 ,那么,(x^2,y^2,z) 形成一组勾股数,或素勾股数。不失一般性,假设 x 是偶数,y 是奇数,然后,z 应为奇数,互质勾股数 (x^2,y^2,z) 可以写成:

    x^2=2mn ,y^2=m^2-n^2 ,z=m^2+n^2 。

因为 y^2+n^2=m^2 ,y 是奇数,n 是偶数,所以 m 是奇数。(n,y,m) 是素勾股数,然后存在互质的新变量 r,s,使得

   n=2rs ,y=r^2-s^2 ,m=r^2+s^2 。

又有:m(n/2) = (x/2)^2 ,  因 m 和 n/2 互质,所以 m 和 n/2 皆为平方数。

同样,r 和 s 互质,也皆为平方数:

然后,r=x0^2 ,s=y0^2 ,m=z0^2 ,代入 m=r^2+s^2 ,便有,x0^4+y0^4=z0^2 ,且有 z=m^2+n^2>m^2>z0 。

总结上面的过程,就是说,从勾股数 (x^2,y^2,z),可以得到另一个更小的勾股数 (x0^2,y0^2,z0) ,还可以依此类推……。但是,根据费马的“无穷递降法”,过程不可能无限继续下去。因此,“假设有一个正整数组合 (x,y,z) 满足方程 1 ”不成立,证毕。

参考资料:

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... 2%E9%99%8D%E6%B3%95

【2】Grant, M. and Perella, M. (1999) Descending to the Irrational. The Mathematical Gazette, 83, 263-267.   http://dx.doi.org/10.2307/3619054

【3】https://mathenchant.wordpress.co ... boasting-frenchman/

【4】https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html

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