数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1014|回复: 0

拓扑流形引论 (1.1)

[复制链接]
发表于 2024-9-25 11:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
拓扑流形引论 (1.1)

作者:飞鸟 科学万象 2024 年 08 月 15 日 20:17 广东

什么是流形?

从基本思想上看,流形类似于曲线和曲面,但可能具有更高的维度。每个流形都有一个特定的非负整数,称为其维度,粗略地说,即指定一个点所需的独立“参数”的数量。n 维流形的原型是 n 维欧几里得空间 R^n ,其中每个点是一个 n 元实数组。

n 维流形是局部类似 R^n 的对象;这意味着如果给定一个起点,则在离其不太远的位置恰好需要 n 个数来指定一点。物理学家则会说 n 维流形是具有 n 个自由度的对象。


图 1.1 平面曲线


图 1.2 空间曲线

1 维流形是直线和曲线。比如实数轴、平面上的圆、抛物线,或任何形式为 y=f(x) 的连续函数的图像(图 1.1)。其它常见的一维流形是空间曲线,通常用参数方程描述,例如对于某些连续函数 f,g,h ,(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t)) 对应的空间曲线(图 1.2)。

在上述的示例中,每个点都可以用单个实数来明确指定。例如,实数轴上的点就对应一个实数,通过角度就能对应圆上的某一点,通过 x 坐标就能识别 y=f(x) 图像上的点,通过参数 t 能对应参数化曲线上的点。需要注意的是,虽然每个参数值都决定一个点,但不同的参数值可能对应于同一个点。但在每种情况下,只要指定某个初始点,附近的实数和直线或曲线上附近的点之间就会存在一一对应关系。


图 1.3 圆环面

2 维流形是曲面。最常见的例子是平面和球面。(当数学家谈到 sphere 时,总是指球面,而不是实心球。R^3 中的单位球面是二维的,而实心球是三维的)其他熟悉的曲面包括圆柱、椭球、抛物面、双曲面和圆环面,圆环面可以可视化为 R^3 中通过将圆围绕 z 轴旋转一圈而获得的甜甜圈形曲面(图 1.3)。在上述这些情况下,需要两个坐标来确定一个点。例如,平面上通常使用笛卡尔坐标或极坐标;在球面上可能使用纬度和经度;在圆环面上可以使用两个角度。

人们可以轻松想象出来的唯一高维流形是欧几里得三维空间。但构造更高维欧几里得空间的子集并不难,这些子集可以合理地称为流形。首先,显而易见,任何 R^n 的开子集都是 n 维流形。此外可以通过使用一个或多个方程“切出”低维子集,来得到更有趣的例子。例如,R^4 中满足方程



的点集 (x1,x2,x3,x4) 称为(单位)三维球面。这是一个三维流形,因为在任何给定点的邻域中,只需要三个坐标即可指定附近的点,比如从“北极”开始,可以选择适当小的 (x1,x2,x3) 坐标并设置



来唯一确定每个附近的点。

上述这些例子的关键特征是 n 维流形在局部“看起来像” R^n 。“看起来像”这一直观概念可以描述为,如果欧氏空间的两个子集 UR^k,VR^n 之间存在一一对应的映射 φ : U→V ,且满足 φ 及其逆都是连续映射,则称这两个子集是拓扑等价的或同胚的。如果欧氏空间 R^k 的某子集  M 中的任意点在 M 中都有一个邻域,且邻域与 R^n 中的一个球拓扑等价,则称该子集 M 是 n 维的局部欧氏空间。

这里给出流形的临时定义:n 维流形(简称 n 流形)可以被视为某个欧氏空间 R^k 的子集,且该子集是 n 维的局部欧氏空间。后面了解更多之后,将给出一个更为通用的定义。

科学万象

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-15 17:33 , Processed in 0.083207 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: