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问:各位数字之和为 19 的四位数有几个?

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发表于 2024-9-27 10:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2024-10-1 13:16 编辑



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发表于 2024-9-27 23:56 | 显示全部楼层
  问:各位数字之和为 19 的四位数有几个?

  将四位数拆分为前两位数字与后两位数字,有以下 18 种情况:

(1)前两位数字之和为 1 ,有 1 种:10 。后两位数字之和为 18 ,有 1 种:99 。

(2)前两位数字之和为 2 ,有 2 种:11,20 。后两位数字之和为 17 ,有 2 种:89,98 。

(3)前两位数字之和为 3 ,有 3 种:12,21,30 。后两位数字之和为 16 ,有 3 种:79,88,97 。

(4)前两位数字之和为 4 ,有 4 种:13,22,31,40 。后两位数字之和为 15 ,有 4 种:69,78,87,96 。

(5)前两位数字之和为 5 ,有 5 种:14,23,32,41,50 。后两位数字之和为 14 ,有 5 种:59,68,77,86,95 。

(6)前两位数字之和为 6 ,有 6 种:15,24,33,42,51,60 。后两位数字之和为 13 ,有 6 种:49,58,67,76,85,94 。

(7)前两位数字之和为 7 ,有 7 种:16,25,34,43,52,61,70 。后两位数字之和为 12 ,有 7 种:39,48,57,66,75,84,93 。

(8)前两位数字之和为 8 ,有 8 种:17,26,35,44,53,62,71,80 。后两位数字之和为 11 ,有 8 种:29,38,47,56,65,74,83.92 。

(9)前两位数字之和为 9 ,有 9 种:18,27,36,45,54,63,72,81,90 。后两位数字之和为 10 ,有 9 种:19,28,37,46,55,64,73.82,91 。

(10)前两位数字之和为 10 ,有 9 种:19,28,37,46,55,64,73,81,91 。后两位数字之和为 9 ,有 10 种:09,18,27,36,45,54,63.72,81,90 。

(11)前两位数字之和为 11 ,有 8 种:29,38,47,56,65,74,83,92 。后两位数字之和为 8 ,有 9 种:08,17,26,35,44,53,62.71,80 。

(12)前两位数字之和为 12 ,有 7 种:39,48,57,66,75,84,93 。后两位数字之和为 7 ,有 8 种:07,16,25,34,43,52,61.70 。

(13)前两位数字之和为 13 ,有 6 种:49,58,67,76,85,94 。后两位数字之和为 6 ,有 7 种:06,15,24,33,42,51,60 。

(14)前两位数字之和为 14 ,有 5 种:59,68,77,86,95 。后两位数字之和为 5 ,有 6 种:05,14,23,32,41,50 。

(15)前两位数字之和为 15 ,有 4 种:69,78,87,96 。后两位数字之和为 4 ,有 5 种:04,13,22,31,40 。

(16)前两位数字之和为 16 ,有 3 种:79,88,97 。后两位数字之和为 3 ,有 4 种:03,12,21,30 。

(17)前两位数字之和为 17 ,有 2 种:89,98 。后两位数字之和为 2 ,有 3 种:02,11,20 。

(18)前两位数字之和为 18 ,有 1 种:99 。后两位数字之和为 1 ,有 2 种:01,10 。

    综合以上讨论,可知各位数字之和为 19 的四位数的总数为

       1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×6 + 7×7+ 8×8 + 9×9

      + 9×10 + 8×9 + 7×8 + 6×7 + 5×6 + 4×5 + 3×4 + 2×3 + 1×2

       = 285 + 330 = 615 。

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謝謝陸老師  发表于 2024-9-28 17:35
113119  发表于 2024-9-28 17:35
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发表于 2024-9-29 14:04 | 显示全部楼层
问题 化简为
a+b+c+d =19
1<=a<=9
0<=b<=9
0<=c<=9
0<=d<=9
计A =a-1  0<=A<=8
A+b+c+d =18
不考虑<=**
结果是C(18+4-1,3)
容斥原理
- 存在1个 <=** 不满足
+ 存在2个 <=** 不满足
- 存在3个 <=** 不满足
。。。

2个 <=** 不满足  明显不存在 结果=0  

k<=M 不满足  就是 直接k>M
也就是 (k-M-1)>0  k-M-1 整体的 非负整数解

存在1个 <=** 不满足
0<=A<=8
(A-9)+b+c+d=18-9 =9
结果是C(9+4-1,3)
bcd 等价只算1个 后面*3
0<=b<=9
A+(b+10)+c+d=18-10 =8
C(8+4-1,3)

+ 存在2个 <=**  明显不存在


最后结果=
C(18+4-1,3)
- (C(9+4-1,3)+3*C(8+4-1,3)
=1330-(220-3*165)=615

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謝謝老師  发表于 2024-10-1 13:11
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