数学史上的奇迹｜伯努利家族

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数学史上的奇迹｜伯努利家族

原创 数学往事 数学往事 2024 年 08 月 07 日 08:18 江西

在数学史上，一个家庭中有如此多的成员在数学方面取得杰出的成就，这也许是独一无二的。伯努利家族的情况正是这样。在这里，我们主要关注雅各布·伯努利、他的弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli）和约翰的儿子丹尼尔·伯努利。

上述三位数学家来自同一个家族，我们从其中最年长的一位开始介绍。


图 22.1 雅各布·伯努利肖像（由他的弟弟尼古拉·伯努利于 1687 年绘制）

雅各布·伯努利（见图 22.1）于 1654 年 12 月 27 日出生在瑞士的巴塞尔。他的父亲是尼古拉（Nicolaus ，又名 Niklaus ， 1623 —1708），他的母亲是玛格丽塔·舍诺尔（Margaretha Schonauer）。这对夫妇希望他们的孩子要么准备接管家族企业，要么去做牧师。这在当时并不罕见。雅各布的情况属于后者。在父母的引导下，他在巴塞尔大学学习哲学和神学，1671 年获得哲学硕士学位，1676 年又获得了神学学位。尽管雅各布参加了这些正式的学习，但他违背了父母的意愿，私下里学习数学和天文学。他也许缓解了家人对他学习数学的厌恶。他并不是 唯一面临这种家庭压力的人，当时的其他数学家似乎也面临着类似的压力。在 22 岁到 28 岁之间，雅各布游历了整个欧洲，拜访了他那个时代的主要科学家和数学家。

1683 年，他回到巴塞尔大学，开始教授流体力学和固体力学。由于他拥有神学学位，因此他有资格在教会任职，但他立即拒绝了。这样，他就可以投身于自己真正感兴趣的领域—数学和科学。1684 年，他与朱迪思·斯塔帕纳斯（ Judith Stupanus）结婚，婚后二人育有两个孩子。他继续与其他数学家通信，尤其对勒内·笛卡儿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的著作着迷。雅各布·伯努利为当时正在发展的数学学科提供了更为重要的基石之一：



这是从他对复利的研究中发展而来的。他发现如果某人投资 1.00 美元，每年支付给他的利息是 1.00，那么到年底时总金额就是 2.00 美元。如果利息在一年中结算两次，则总金额是 1.00×1.5^2 美元。如果按季度计算复利，那么这笔投资的收益为 1.00×1.25^4 美元。如果按月计算复利，那么这笔投资的收益为 1.00×(1.0833…)^12 = 2.613035… 美元。如果按周计算复利，那么他发现收益是 2.692597… 美元。按日计算复利的收益 2.714567… 美元。随着越来越频繁地计算复利，总金额将达到极限值 2.7182818284590… 美元。这就是自然对数的底，用字母 e 表示。这个符号后来由莱昂哈德·欧拉加以推广。

1687 年，他终于安定下来，接受了巴塞尔大学数学教授的职位。这也给他带来了新的机会，继续研究英国数学家伊萨克·巴罗（Isaac Barrow ，1630 — 1677）和约翰·沃利斯（John Wallis ，1616 —1703）的发现，而这又促使他进一步研究微分几何。

在获得了巴塞尔大学的这个职位之后，他开始指导弟弟约翰学习数学。兄弟俩对莱布尼茨于 1684 年发表在《博学通报》（Acta Eruditorum）上的关于微分学的论文感兴趣，这篇论文可以被认为是我们所知晓的微积分的第一次出现。大约在同一时间，艾萨克·牛顿也建立了微积分的概念，他将其称为流数。众所周知，关于谁首次开拓这一新的数学领域，逐渐形成了一场争论。当然，伯努利兄弟支持莱布尼茨。雅各布在 1690 年发表的一篇论文中，首先在分析曲线时使用了“积分”一词。1691 年，雅各布写了一篇关于悬链线的文章。悬链线是一条两端支撑在同一高度的链条形成的曲线。如今，它经常出现在桥梁建构中。悬链线可以在 xOy 平面上显示为一条从直线 x=0 下垂到其最低点 y=a 的链条，它由方程 y=(a/2)[e^(x/a)+e^(-x/a)] 给出。它也可以通过方程 y=acosh(x/a) 表示为双曲余弦函数。1695年，他将微积分应用于他的分析，进一步改进了桥梁设计。

在当时的许多数学家搞清微积分这一领域之前，伯努利兄弟俩已埋头于研究它的应用了。与此同时，他们之间的竞争和对抗不断升级。他们开始在出版物上互相批评， 同时用数学问题互相挑战。这进一步推动了人们对数学的理解。1697 年，他们的关系完全破裂，二人分道扬镳，彼此不再沟通。


图 22.2 《推测的艺术》，1713 出版（米兰，曼苏蒂基金会）

雅各布于 1705 年 8 月 16 日在瑞士的巴塞尔去世。不幸的是，他在世时并没有看到后来在 1713 年出版的《推测的艺术》（Ars Conspectandi），这是对他的大部分优秀成果的总结（见图 22.2），其中包括排列组合理论以及著名的伯努利数。利用伯努利数，可以轻松地计算任何连续整数的幂之和。在讨论这些问题时，据称他这样说道：“在这张表格的帮助下，我花了不到半刻钟的时间就能求出前 100 个数字的 10 次方相加的和为 914099242414242443424241924242500 。”



表 22.1 列出了前 11 个伯努利数 Bn 的值。如果 n 是 4 的倍数而不等于 0 ，那么 Bn＜0 。其他伯努利数都是正的，除了 n=1 的情况， 此时 B1=±1/2 。伯努利数产生于雅各布对整数幂之和的长期研究，这个问题自古以来就吸引着很多数学家。奇怪的是，这些数是第一个复杂计算机程序的主题。

伯努利数可以定义为以下数列求和公式中的 Bk ：



只有心怀大志的读者才想进一步探究这个问题。

《推测的艺术》还进一步介绍了概率这一主题和现在很著名的伯努利大数定律，该定律如今被用于对统计总体进行抽样。伯努利大数定律指出， 当有许多试验或事件发生时，经过足够长的时间，具有相同发生可能性的事件的出现频率与概率相等。随着事件数量的增加，结果的实际比率将收敛于理论上的或预期的结果比率。

伯努利的工作引人注目的原因有三个。首先，他在进行研究时对那些在他之前进行该研究的人只有肤浅的了解。他读到过克里斯蒂安·惠更斯的《机会游戏中的推理》（Reasoning in Games of Chance），但从他的著作中可以清楚地看出，他没有读过帕斯卡与费马的书信、帕斯卡的《算术三角形 》（Treatise on Arithmetical Triangle），以及其他一些原本可以为他的研究提供信息的文本。其次，尽管他没有机会接触前辈的著作，但他在概率研究方面的进步比他们大得多。最后，他不仅致力于解释假设结果公平的那些几率游戏，还解释了纸牌、骰子和硬币游戏的独特结果。他也试图解释诸如决策制定等问题。1744 年，雅各布·伯努利的著作在他死后以两卷本的形式出版，书名为《雅各布·伯努利作品集》（Opera Jacobi Bernoulli）（见图 22.3）。


图 22.3 《雅各布·伯努利作品集》第 1 卷

现在我们来看看约翰·伯努利（见图 22.4）。他是雅各布·伯努利的弟弟，1667年 8 月 6 日出生在瑞士的巴塞尔，是他父亲的第十个孩子。他的父亲是一位药剂师，希望他最终接管自己的事业，因此引导约翰的大学学习朝着这个方向展开。


图 22.4 约翰·伯努利 [ 布面油画，约翰·鲁道夫·胡贝尔（Johann Rudolf Huber）创作于 1740 年 ]

约翰对商业不感兴趣，因此选择了学医，试图让他的父母多少感到满意。但他对这个学科也不感兴趣，他的哥哥雅各布怂恿他考虑学习数学，结果他发现这才是最适合他的。兄弟俩（见图 22.5）最初致力于微积分这门新学科的研究。

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图 22.5 雅各布·伯努利和约翰·伯努利（版画，约 1870 — 1874）

尽管约翰对数学的兴趣高于一切，但他还是在巴塞尔大学完成了医学专业的学习，并于 1694 年获得博士学位。令他父亲非常失望的是，他后来潜心研究数学，出版了两本关于微积分的著作。此后不久，他迎娶了多萝西娅·福克纳（Dorothea Falkner）。两人育有三个男孩，其中一个是丹尼尔，我们将在稍         后介绍他的职业生涯。也是在个时候，他开始在荷兰的格罗宁根大学担任数学教授。约翰在格罗宁根大学里似乎很快乐，这从 1696 年 7 月 22 日的一张短笺中可见一斑（见图 22.6）。他在其中写道：“哪里有面包，哪里就是我的家园。”（Patria est，ubi bene est.）


图 22.6 约翰·伯努利的短笺

约翰在他的一生中教过一些非常著名的学生，例如莱昂哈德·欧拉和法国数学家纪尧姆-弗朗索瓦-安托万（Guillaume-Francois-Antoine ，即洛必达侯爵，1661—1704）。后者至今仍以被称为洛必达法则的数学成果而闻名，这一法则应用在微分学中。奇特的是，如果约翰能提供一些数学发现，洛必达就愿意付钱给他。有趣的是，约翰后来与洛必达签订了一份合同，允许洛必达使用他的研究成果而不必适当地提及他的工作。这样，洛必达在 1696 年出版了《用于理解曲线的无穷小分析》（Analyse desinfiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes ，见图 22.7）。该书的主要内容就是约翰的工作，包括我们今天所熟知的洛必达法则。


图 22.7 《用于理解曲线的无穷小分析》，1696

微积分的研究越来越流行，并且在约翰提出最速降线问题后进一步得到了普及。这个问题在当时吸引了众多数学家，它说的是将一根金属丝连接在不同高度的两个点上，然后在金属丝上放置一颗珠子，让珠子从较高的一端开始沿着金属丝向下滑动（假设没有摩擦）。问题的挑战在于确定金属丝应该具有怎样的曲线形状，才能使珠子在最短的时间内降落到最低点。利用微积分，他确定这条曲线是一条倒摆线。当一个圆沿着直线路径滚动时，圆上的一点的轨迹也可以生成摆线，如图 22.8 所示。



1705 年，约翰的家人敦促他返回巴塞尔。在回来的路上，他得知雅各布死于肺结核。最初，约翰回到巴塞尔是为了在巴塞尔大学担任希腊语教授。在哥哥去世后，他获得了巴塞尔大学当时空缺的数学教授职位，这个职位此前一直由他的哥哥担任。必须说明的是，尽管失去了哥哥，但在能够得到数学教授职位时，约翰还是很高兴地改变了他的计划。

1713 年，约翰积极地参与了微积分的发现应该归功于谁的讨论，他支持莱布尼茨。他证明莱布尼兹的工作能够解决牛顿的流数法无法解决的问题。为了进一步支持莱布尼茨关于微积分发展的立场，他于 1742 年出版了一本关于积分的书，此后不久又出版了一本关于微分的书。

显然，约翰·伯努利的嫉妒心相当强，这导致了他与哥哥雅各布之间的竞争以及后来的关系破裂。另一个类似的问题也破坏了他与儿子丹尼尔·伯努利的关系，后者也是一位非常有天赋的数学家。1734 年，丹尼尔写了一本重要的著作《流体动力学》（Hydrodynamica），该书于 1738 年出版。大约在此时，他的父亲约翰出版了《水力学》（Hydraulica）。关于书中内容的归属权问题再次演变成一场争论。人们相信约翰剽窃了他的儿子丹尼尔的著作。这进一步破坏了他们的关系。约翰于 1748 年 1 月 1 日在瑞士巴塞尔去世，此前仍与儿子丹尼尔不和。

约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利（见图 22.9）于 1700 年 2 月 8 日出生在荷兰格罗宁根。尽管他的父亲极力要求他学习商业，但他坚持学习数学。后来他从事了一些商业研究，但最终在父亲的建议下学习医学，因为他知道父亲会在家里教他学习数学。1721 年，丹尼尔最终获得了解剖学与植物学博士学位。如前述，他的父亲是个嫉妒心相当强的人。这一点在巴黎大学的一次科学竞赛中再次体现出来，当时丹尼尔和他的父亲并列第一，结果他的父亲竟将他拒之门外。约翰此后一直对此怀恨在心。


图 22.9 丹尼尔·伯努利肖像（画在相册纸上并裱在纸板上，约 1750 年）

丹尼尔与著名数学家欧拉成为了朋友，当时欧拉居住在圣彼得堡。丹尼尔于 1724 年前往那里担任数学教授一职，不过他似乎并不喜欢这个职位。1733年他得了一场短暂的疾病，这使情况变得更糟。于是，他回到了巴塞尔大学，在那里担任了医学、形而上学和自然哲学教授职位。

丹尼尔是一位才华横溢的数学家和科学家，他的才能显然可以与他的父亲媲美。这种竞争适得其反，因为他赢得了许多奖项，而他的父亲认为其中一些奖项本该授予自己，并因此将他赶出了家门。丹尼尔为未来科学的发展做出了哪些重要发现？丹尼尔证明了当流体流经一个流速增大的区域时，其压强会降低。这在现今被称为伯努利效应，他从数学上正确地描述了这种效应。伯努利效应在现实生活中有很多应用，它解释了为什么机翼会为飞机提供升力。从本质上说，它所解释的是机翼的形状使得空气流经上翼面的速度比流经下翼面的速度快。这就导致了空气压差，从而产生升力。1782 年 3 月 17 日，丹尼尔在度过了光辉、圆满的一生后，在瑞士巴塞尔去世。

至此，我们对伯努利家族有了一个很好的概观，这很可能是最著名的数学家族。他们与当时的主要数学家进行了一个多世纪的合作，为数学的发展取得了许多重大突破。他们的贡献不仅在于数学领域，还有科学、哲学、商业以及帮助我们更好地了解我们的环境的一般知识。

本文节选自《他们创造了数学：50 位著名数学家的故事》，经人民邮电出版社授权发布

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