计算 n 阶行列式的值

天山草

天山草

解到此为止是对的，即得出的递推公式是正确的。现在的问题是：如何解出 \(D_n\) ?

提示： 当 n=1, 2, 3, 4, 5, 6  时，有以下结论：

王守恩

变化一下？这个可以有！
\(D_{0}=1,\)
\(D_{1}=2 \cos(A),\)
\(D_{2}=1 + 2 \cos(2 A)\),
\(D_{3}= 2\cos(A) + 2\cos(3 A),\)
\(D_{4}= 1 + 2\cos(2 A) + 2 \cos(4 A),\)
\(D_{5}=2\cos(A) + 2\cos(3 A) + 2\cos(5 A),\)
\(D_{6}= 1 + 2 \cos(2 A) + 2 \cos(4 A) + 2 \cos(6 A),\)
\(D_{7}= 2 \cos(A) + 2\cos(3 A) + 2\cos(5 A) + 2\cos(7 A),\)
\(D_{8}=1 + 2 \cos(2 A) + 2 \cos(4 A) + 2 \cos(6 A) + 2\cos(8 A),\)
\(D_{9}=2\cos(A) +2\cos(3 A) + 2\cos(5 A) + 2\cos(7 A) + 2\cos(9 A),\)

波斯猫猫

按第一行展开，并根据相关性质可得D(n)=2cosα.D(n-1)-D(n-2)，其特征方程为x.x-2cosα.x+1=0，
特征根为cosα±isinα，计算较繁哦，....

天山草

天山草

经检验，说明上述结果是正确的：

天山草

5# 楼的解答是由【悠闲数学娱乐论坛】中的 hbghlyj 老师给出的。

王守恩

谢谢天山草！ 电脑丰富了我们的生活。 谢谢天山草！

1. Table[Simplify[(Sin[k A] Csc[A])/RecurrenceTable[{a[n] == 2 Cos[A]*a[n - 1] - a[n - 2], a[1] == 1, a[2] == 2 Cos[A]}, a[n], {n, k, k}]], {k, 25}]

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{{1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1}}

6楼,  3楼,  2楼是相通的。
\(D_{0}=\sin(1A)\csc(A)=1,\)
\(D_{1}=\sin(2A)\csc(A)=2 \cos(A)=2 \cos(A),\)
\(D_{2}=\sin(3A)\csc(A)=1 + 2 \cos(2 A)=4\cos^2(A)-1,\)
\(D_{3}=\sin(4A)\csc(A)= 2\cos(A) + 2\cos(3 A)=8\cos^3(A)-4\cos(A),\)
\(D_{4}=\sin(5A)\csc(A)= 1 + 2\cos(2 A) + 2 \cos(4 A)=16\cos^4(A)-12\cos^2(A) +1,\)
\(D_{5}=\sin(6A)\csc(A)=2\cos(A) + 2\cos(3 A) + 2\cos(5 A)=32\cos^5(A)-32\cos^3(A) + 6\cos(A),\)
\(D_{6}=\sin(7A)\csc(A)= 1 + 2 \cos(2 A) + 2 \cos(4 A) + 2 \cos(6 A)=64\cos^6(A)-80 \cos^4(A) + 24\cos^2(A)+1,\)
\(D_{7}=\sin(8A)\csc(A)= 2 \cos(A) + 2\cos(3 A) + 2\cos(5 A) + 2\cos(7 A)=......,\)
......

用上面的算法可以算3楼。3楼也可以用下面的算法。

1. Table[Sum[2 Cos[(4 k - 3 - Cos[n Pi]) A/2], {k, (2 n + 3 + Cos[n Pi])/4}] - Cos[n Pi/2]^2, {n, 0, 9}]

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1,
2 Cos[A],
1 + 2 Cos[2 A],
2 Cos[A] + 2 Cos[3 A],
1 + 2 Cos[2 A] + 2 Cos[4 A],
2 Cos[A] + 2 Cos[3 A] + 2 Cos[5 A],
1 + 2 Cos[2 A] + 2 Cos[4 A] + 2 Cos[6 A],
2 Cos[A] + 2 Cos[3 A] + 2 Cos[5 A] + 2 Cos[7 A],
1 + 2 Cos[2 A] + 2 Cos[4 A] + 2 Cos[6 A] + 2 Cos[8 A],
2 Cos[A] + 2 Cos[3 A] + 2 Cos[5 A] + 2 Cos[7 A] + 2 Cos[9 A],

luyuanhong

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：