解密斯特林公式：从推导到应用的数学奇迹

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解密斯特林公式：从推导到应用的数学奇迹

原创 不会变换的傅里叶 通往未来的门 2024 年 08 月 23 日 17:46 黑龙江

斯特林公式（Stirling's formula）是数论和概率论中一个著名的近似公式，主要用于估算阶乘函数（n!）在 n 较大时的值。斯特林公式在统计学、组合数学、以及许多其他数学领域中都有广泛应用。本文将围绕斯特林公式的一种推导展开讨论，并探索其在不同数学领域的应用。

一、斯特林公式的背景与意义

斯特林公式的基本形式如下：



其中，n! 是 n 的阶乘，表示从 1 到 n 的所有整数的乘积；e 是自然对数的底；π 是圆周率。随着 n 的增大，公式右侧对 n! 的近似程度越来越高。

斯特林公式的推导不仅仅是数学上的一项巧妙发现，它还揭示了在大数情况下，阶乘函数与指数函数之间的深刻联系。这一公式的重要性体现在多个方面：首先，它简化了大数情况下阶乘的计算；其次，它在组合数学中，用于估计排列数和组合数；此外，它在概率论中被用于计算多项式分布和正态分布的极限情况。

二、斯特林公式的推导

斯特林公式的推导有多种方法，以下我们将介绍一种经典的推导方法，该方法使用了积分、对数以及泰勒级数展开等工具。

1. 使用积分与对数的推导

首先，我们从阶乘的定义入手，并引入对数以简化计算。我们考虑 n! 的对数：



对于大 n ，可以使用积分来近似求解和式。注意到 ln(k) 在 n 趋于无穷大时的行为，我们可以将其近似为积分：



通过计算该积分，我们得到：



将积分上下限代入并简化，我们得到：



因此，阶乘的对数可以近似为：



为了得到斯特林公式的精确形式，我们需要进一步校正上述结果。这里我们引入了著名的欧拉-麦克劳林公式，该公式用于校正积分的近似，得到如下校正项：



最后，我们通过指数运算得到斯特林公式的近似形式：



2. 使用泰勒展开的推导

另一种推导斯特林公式的方法是通过泰勒级数展开。考虑对数函数的泰勒展开：



将此公式应用于对数阶乘函数中，我们可以得到更精细的近似公式。这种方法涉及到更多复杂的计算，但其核心思想仍然是通过对 ln(n!) 的近似来推导斯特林公式。

三、斯特林公式的应用

1. 组合数学中的应用

在组合数学中，斯特林公式用于估计排列数和组合数。当我们需要计算一个非常大的数的阶乘时，直接计算可能非常困难，斯特林公式提供了一个有效的近似方法。例如，计算排列数时的近似值：



当 n 和 k 都很大时，可以使用斯特林公式来近似计算。

2. 概率论中的应用

在概率论中，斯特林公式在计算多项分布和正态分布的极限时发挥重要作用。例如，在中心极限定理中，正态分布的标准化形式通常依赖于斯特林公式的近似。

3. 统计学中的应用

在统计学中，斯特林公式用于估计大样本情况下的分布函数。例如，似然估计中的极大似然估计方法（MLE）常常需要计算复杂的阶乘函数，这时可以通过斯特林公式来简化计算。

4. 举个例子

求极限



解：



四、总结

斯特林公式为大数阶乘的计算提供了一个简单且有效的近似方法。本文通过积分与对数方法以及泰勒展开法推导了斯特林公式，并探讨了它在组合数学、概率论和统计学中的应用。斯特林公式的广泛应用使其成为数学研究中的一个重要工具。理解其推导过程和应用场景，不仅有助于数学研究的深入，还能提高我们在实际问题中的计算效率。

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