“1^2+2^2+3^2+……=0”的反直觉的证明方法大合集

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“1^2+2^2+3^2+……=0”的反直觉的证明方法大合集

原创 Genawaken 王根的数学物理分享 2024 年 08 月 27 日 09:17 浙江

黎曼 Zeta 函数在 s=-2 处的值为 ζ(-2)=0 。虽然这个结果比较简单，但仍然可以通过几种不同的方法来证明。在详细介绍之前，我们可以直观地理解到，由

于负偶数在某些情况下与 Bernoulli 数有直接关系，这个结果自然会出现。

1. 通过黎曼 Zeta 函数的反射公式



2. 通过 Bernoulli 数



3. 通过生成函数



4. 通过一般的级数展开



5. 通过积分定义



结论

无论是通过 Bernoulli 数、反射公式，还是直接通过级数展开或生成函数，我们都可以证明黎曼 Zeta 函数在 s=-2 处的值为零。这个结果展示了 Zeta 函数在

负偶数处的一致性，并且在很多复杂的物理与数学应用中起到了关键作用。

Genawaken