Riemann–Stieltjes 积分的想法

luyuanhong

Riemann–Stieltjes 积分的想法

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 08 月 31 日 08:02 陕西


图 1

上面这个积分我们完全可以利用黎曼积分的技术来做，但如果尝试将后面的 dx^2 看作一个整体，以一种稍微不同的方式来看待它，或者更准确地说是回到积分的基本定义，我们就会拥有 Riemann–Stieltjes 积分的想法。为了方便起见我们把上面这个积分记作 RSI 。

如果我们回到一个更为简单的情况呢？如下所示：


图 2

或者我们用图像来表示，我们实际上在考虑 f(x)=x 这个函数在 [0，1] 上图像下的面积：


图 3

根据上面的表达式，我们知道图像下的面积是 n 趋于无穷时，n 个矩阵的面积之和，这些矩阵长为 Δx ，宽为 f(x(i)) ，为了更准确地计算矩形的长和宽，我们需要把 Δx 和 f(x(i)) 表达式给算出来。这里并没有什么难度，因为我们 [0，1] 均分成 n 个矩形的长，显然有下面等式：


图 4

将图 4 的表达式代入到图 2 中：


图 5

接下来我们就要计算右边的极限，这没啥好说的，求和极限的技术通通用上去一顿怼。


图 6

现在我们想把这样的想法用到 RSI 上，但有一点点不同：


图 7

首先这里是 dx^2 项（无穷小）是 x 的函数，因此依赖于 x ，为了方便起见，我们将其称为 g(x) ，这样我们得到的无穷小就是 dg(x) 。那这是什么意思？这里要回想一下图 3 ，在那里我们有相等底边长度的矩形，即 Δx 。对于我们的 RSI ，现在这些底边现在是非线性尺度，它们将呈二次函数的样子。

回到黎曼积分的定义，我们将 Δx 定义为 x(i)-x(i-1) 。现在，对于 RSI ，我们现在将 Δx 定义为 g(x(i))-g( x(i-1)) 。在这种情况下，我们得到以下结果：


图 8

现在与黎曼积分类似，代入到图 2 中，只不过 Δx 要改变一下，


图 9

接着，仍然是稍微复杂的计算：


图 10

事实上不仅对于特殊的函数 x^2 ，对于一般的 g(x)（或许有单调性的要求），我们都可以做出 RSI ，并且可以找到它黎曼积分之间的关系。


图 11 仅对 g：R→R 且 g 连续可微有效

所以现在或许你有一点点不同的角度来看待：


图 12

最后如果你有更多的关于 Riemann–Stieltjes 积分的应用或者小知识，可以在评论区告诉我们，我们下期见。



围城里的猫