有理数和无理数到底哪个多？

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有理数和无理数到底哪个多？

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 09 月 13 日 14:10 浙江

这是自然数、整数、有理数和实数的关系。

但你可能被这张图误导了。



事实上，它们的对比关系是这样的，因为无理数比有理数多得多。



有理数是整数与分数的统称，当然包括有限小数及循环小数，因为他们都能化为分数的形式。

而无理数则是无限不循环小数，比如圆周率 π 和自然对数的底 e 。

得出这个结论的是一位驰骋在无限王国里的勇士——康托尔。



他提出：衡量无穷不能用传统的数字，而是要用到超限数，又被称为“基数”或“势”。就如同超级富豪的财富，不必纠结账上精确的末尾数字，而是要比较财富的数量级。

康托尔的大招就是一一对应。类似于左手和右手的手指能一一对应，那么两只手的手指数就相等，两个无穷的比较也是如此。



所以他得出一个结论：自然数、整数与有理数都一样多。因为它们都是可数的，也就是能按照一定的规则排列，且不会遗漏任何一个，这样就能和自然数一一对应。康托尔将它们的基数定义为：（阿列夫零）。从编号就能看出这是最基本的无穷。



那么所有的无穷都是可数的吗？

并不是！

康托尔发现实数就不可数，甚至都不用考察全体实数，只需要考察（0，1）之间的实数，他将任意一个区间内的所有实数称为连续统。



他用了反证法，假设 0 到 1 之间的实数能够与自然数一一对应，那就能列出这样两个数列：



而自然数 n 对应的实数为 Xn

那么总可以在（0，1）之间找到一个实数 b ，b=0.b1b2b3b4b5…bn…

使得 b1≠X1 的第 1 位小数，b2≠X2 的第 2 位小数，以此类推，总之 bn≠Xn 的第 n 位小数。

这说明了 b 不可能等于右侧数列上的任何一个数字，因为它与数列上任意一个数，至少有一位数字不同。

而 b 又是（0，1）内的实数。

那就只有一种可能，我们无法做到让自然数与（0，1）内的实数一一对应。

无论列出多么庞大而细致的数字表格，总能在其中找到“空隙”，生成更多新的实数插队进来，所以（0，1）内的实数是不可数的。

0 与 1 之间的实数是比自然数“更高一级的”无穷。

康托尔将它的基数定义为 c ，意为英文“连续统”的首字母。

这是 1874 年康托尔的重要发现：连续统的不可数性。

他第一次找到了不可数的无穷。

无限王国出现了等级，无穷与无穷并非全都相等：c＞



我们知道实数是由有理数和无理数组成的，而有理数是可数的（因为它能有序排列，其基数等于自然数），所以无理数必然不可数。

数轴上排得密密麻麻（稠密的）的有理数，在无理数面前实在太稀疏了。

这一幕仿佛《庄子》庖丁解牛故事里的“以无厚入有间”（来自《庄子·养生主》，原意为：用很薄的（刀刃）插入有空隙的（骨节））。

而康托尔的集合论，就是解剖无穷世界的利器。

在无穷的世界里，康托尔得到了更多反直觉的结论：任意一小段数轴上的实数与全体实数一样多；任意实数轴上的点与二维平面上的点一样多，甚至与 n 维空间中的点也一样多。



大胆闯入无穷世界的康托尔，遭到了来自各方数学家的攻击，但他坚信自己的理论坚如磐石，射向它的每一枝箭都会迅速反弹。

《天才引导的历程》一书讲述了康托尔这些伟大的数学家们不凡的经历。作者邓纳姆很擅长将人物故事与数学原理完美结合，以通俗的讲述方式娓娓道来，再次推荐他的这本精品科普书，非常适合拓展阅读。

蔡爸谈数学