请证明mk是梅森素数

yangchuanju

请证明mk是梅森素数
如果方程a^2+ab+b^2-mk=0，mk=2^k-1，只有2组正整数解，则mk是梅森素数；
式中：整数a>0，b>0，素数k≥3。

当k是素数时，mk=2^k-1称为梅森数；
当k=2,3,5,7,13,17,19,31,61……时，2^k-1是素数，称为梅森素数；
当k=11,23,29,37,41,43,47,53,59……时，2^k-1不是素数，是一些梅森合数。

a^2+ab+b^2-mk=0
a^2+b*a^2+(b^2-mk)=0
a=±(b^2-4*(b^2-mk))^0.5/2-b/2=±(4mk-3b^2)^0.5/2-b/2
当a只取正号时，a=(4mk-3b^2)^0.5/2-b/2，
在(4mk-3b)^0.5是偶数时，a可能是整数。

已经算得
当k=3、mk=7、b=1,2时a=2,1，有2组正整数解2,1,7；1,2,7；mk=7是梅森素数。
当k=5、mk=31、b=1,5时a=5,1，有2组正整数解5,1,31；1,5,31；mk=31是梅森素数。
当k=7、mk=127、b=6,7时a=7,6，有2组正整数解6,7,127；7,6,127；mk=127是梅森素数。
当k=11、mk=2047时，没有正整数解，mk=2047不是梅森素数。
当k=13、mk=8191、b=1,90时a=90,1，有2组正整数解1,90,8191；90,1,8191；mk=8191是梅森素数。
当k=17、mk=131071、b=6,359时a=359,6，有2组正整数解6,359,131071；359,6,131071；mk=131071是梅森素数。
当k=19、mk=524287、b=83,679时a=679,83，有2组正整数解83,679,524287；679,83,524287；mk=524287是梅森素数。
当k=23时，没有正整数解，2^23-1不是梅森素数。
当k=29时，没有正整数解，2^29-1不是梅森素数。
当k=31、b=4698,43813时a=43813,4698，有2组正整数解；2^31-1是梅森素数。

k=37,41,43,47……时有没有正整数解，请验证！

yangchuanju

命题不正确，有反例存在，k=37有4组正整数解——       
b        a
6714        367325
147629        274170
274170        147629
367325        6714
       
k=41,43没有正整数解！       

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝3k\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
已知:方程\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
已知:整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，素数\(c=2^k-1\)
求证:方程\(a^2+ab+b^2-c＝0\)，有正整数解
已知:整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，素数\(c=2^k-1\)
求证:方程\(a^2+ab+b^2-3k=0\)，有正整数解
已知:\(a^2+ab+b^2＝3k\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，素数\(c=2^k-1\)
求证:方程\(a^2+ab+b^2-c=0\)，有正整数解
已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，素数\(c=2^k-1\)
求证:方程\(a^2+ab+b^2-3k=0\)，有正整数解

太阳

yangchuanju 发表于 2024-10-23 10:44
命题不正确，有反例存在，k=37有4组正整数解——       
b        a
6714        367325

k=37，有4组正数解，2^k-1是合数

yangchuanju

当a只取正号时，a=(4mk-3b^2)^0.5/2-b/2，
3b^2<4mk
b^2<4/3*mk
b<(4/3*mk)^0.5
k        mk        最大b        最大a        实际大a
3        7        3        2        2
5        31        6        5        5
7        127        13        10        7
9        511        26        22        19
11        2047        52        44        ——
13        8191        104        90        90
15        32767        209        180        166
17        131071        418        361        359
19        524287        836        723        679
21        2097151        1672        1447        1365
23        8388607        3344        2895        ——
25        33554431        6688        5792        4445
27        134217727        13377        11584        9753
29        536870911        26754        23169        ——
31        2147483647        53509        46340        43813
33        8589934591        107019        92681       
35        34359738367        214039        185363       
37        1.37439E+11        428079        370727        367325
39        5.49756E+11        856158        741454       
41        2.19902E+12        1712317        1482909       
43        8.79609E+12        3424634        2965820       
45        3.51844E+13        6849269        5931641       
47        1.40737E+14        13698539        11863282       
49        5.6295E+14        27397079        23726565       
51        2.2518E+15        54794158        47453132       
53        9.0072E+15        109588316        94906265       
55        3.60288E+16        219176632        189812530       
57        1.44115E+17        438353264        379625061       
59        5.76461E+17        876706528        759250124       
61        2.30584E+18        1753413056        1518500249       

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
估计这个命题是正确的，没有找到反例

太阳

已知:方程\(a^2+ab+b^2-c＝0\)，有正整数解，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)
整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
估计这个命题是正确的，没有找到反例

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
\(c\)取奇数，判断方程\(a^2+ab+b^2-c=0\)是否有正整数解？难度大，很难判断是否有正整数解

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，素数\(c=2^k-1\)
求证:方程\(a^2+ab+b^2-c＝0\)，有正整数解
k＝61，89，127，521，607，1279
a＝230658714，b＝1389974741
a＝7097266064519，b=20559283311750
a＝4064494709036811419，b＝10527652944872033958
a＝1208927021349106183677642660053853169298277288545891611469454676748066782203331
b=1797341904616118001324416400679720812702760057269194891486737026438854595709254
a=2326092666119967768010814881846178003731345040959320648556068209608942664126234713049400378
b=21795175777944915830844029348904273388844835549247239601946016792470152400010645142537893469
a=460196652883822018591331467927035094595953511776464007376985634980326772092156382500787269874532737629582268202157827320564411604134553355581833747941123382267698736003023339203664274035398717
b=2971322682293162302861413855311321725933283727253628337107446903523591006703750971624469273881564512356822189526580019070084292451962819981733663527664235747730156397731083454842674078426720521

yangchuanju

梅森素数M3、M5、M7、M13、M17、M19、M31、M61、M89、M107、M127各有12组整数解（不是正整数解）；
梅森三合数M29、M41的第3素因子和M43的第2素因子各有12组整数解，其余素因子无整数解，故梅森三合数M29、M41。M43无整数解；
梅森二合数M37、M67、M101、M103的两个素因子各有12组整数解，故梅森二合数M37、M67、M101、M103各有24组整数解。