偏微分方程第三节（偏微分方程发展史）

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偏微分方程第三节（偏微分方程发展史）

原创 清贫怎敢入泛函 清贫怎敢入泛函 2024 年 09 月 04 日 14:21 广西

18 世纪的偏微分方程

微积分学深入发展和广泛应用是 18 世纪数学的主要线索，刺激和推动了偏微分方程等许多新分支的产生。



1934 年，欧拉（L. Euler）在他的论文《关于无穷多个同类型曲线的附注（ Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generis）》中最早提出了偏微分方程的雏形。

欧拉是 18 世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。 在微积分、图论、力学、光学和天文学等多个领域都做出过重大发现。 他引进了许多数学术语和书写格式，最为著名的，是他第一个将函数的写为 f(x) , 用来表示一个以 x 为自变量的函数。据统计，欧拉一生平均每年发表 800 页的学术论文，内容涵盖多个学术范畴。

1911 年，数学界系统地开始出版欧拉的著作，并定名为《欧拉全集（Leonhard Euler, Opera omnia）》，迄今已上架者已有 70 多卷，平均每卷 500 多页。拉普拉斯（P. Laplace）说： 读读欧拉，他是我们的大师（Read Euler, read Euler, he is the master of us all）。 欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精 神。历史学家把欧拉同阿基米德（Archimedes）、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”

不久欧拉就完全成了盲人。在他视力逐渐丧失的过程中，拉格朗日、达朗贝尔和当时的其他大数学家在来往的书信中都表示震惊和同情。而欧拉本人面对失明的到来却很镇定。毫无疑问，他的深挚的宗教信仰帮助了他面对未来。但是他并没有让自己屈服于寂静和黑暗，很快便着手补救无法恢复的视力。在最后一点光感消失之前，他就使自己习惯了用粉笔在大石板上写公式，然后他的孩子们（特别是阿尔伯特）当抄写员，他再口授公式的解释。他的数学新作不仅没有减少，反而增多了。

1743 年，达朗贝尔（J. D'Alembert）也在他的著作《论动力学（Traitede dynamique）》中提出和总结了力学中的达朗贝尔原理和虚功原理，出现了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。



1747 年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究（Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration）》中，明确推导了弦的振动所满足的偏微分方程，并给出了通解的表达式，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。



1753 年，伯努利（D. Bernoulli）也发表了他的《弦振动问题新思考》。

18 世纪获得的另一类重要的偏微分方程是位势方程，这与当时另一类热门的力学问题一计算两个物体之间的引力相关。



拉普拉斯在 1785 年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状（Theorie du movement et de la figure elliptique des planietes）》中引进了标量函数 V ，推导了 V 满足的方程（称之为拉普拉斯方程）。

19 世纪的偏微分方程



在 19 世纪的研究中，偏微分方程是数学家、物理学家关注的核心。

这有两方面的原因，一方面是因为偏微分方程在物理学研究中有广泛的应用;另一方面则是由于偏微分方程的研究促进了函数论、变分法、无穷级数、常微分方程、代数、微分几何等数学分支的发展，从而在很大程度上推动了数学的进步。



在解偏微分方程方面迈出第一步的是傅里叶（J. Fourier）。傅里叶的主要贡献是他在研究热传导问题时创立了一套数学理论。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且很重视数学物理等应用数学的发展。由于当时工业上处理金属的需要，他很早就开始并一生坚持不渝地从事热流动的研究。

1807 年，他向巴黎科学院提交了关于热传导方程 的论文，断言任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。



1822 年，他又出版了《热的解析理论（Theorie analytique delachaleur）》一书，断言了任意周期函数都可以用正弦函数和余弦函数表示的想法，提出了求解热传导方程的变量分离法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学、物理以及工程技术都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。



热力学之父汤姆森（W. Thomson ，英国）和泰特（P. Tait ，英国）在《自然哲学（Treatise on Natural Philosophy）》 中曾说： “傅里叶的定理不仅是现代分析学中最美妙的成果之一，而且在讨论现代物理的问题时，它又提供了不可或缺的工具”

今天，傅里叶的思想和方法在很多方面对我们的生活产生着重大的影响。例如，JPEG（联合图像专家小组）是一种针对相片影像而广泛使用的失真压缩标准方法，这种压缩方式拥有 5 个不同的压缩步骤，其中之一就是数字版的傅里叶变换。



所以，傅里叶分析被称赞为一首伟大的数学史诗。马克思主义的创始人之一、辩证唯物主义哲学家恩格斯（F. Engels）则把傅里叶的数学成就与唯心论哲学的代表人物之一黑格尔（G. Hegel）的辩证法相提并论，他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。



在求解位势方程方面，19 世纪的工作是由格林（G. Green）开始的。1828 年，格林出版了一本私人印刷的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论 文（An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism）》 ，引入了位势概念，并且把位势函数的概念移用到电磁学中，第一个创立了电学和磁学的数学理论，他的理论是麦克斯韦、汤姆森等人工作的基础。他求解位势方程解的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。



1864 年，麦克斯韦（J. Maxwell）在先辈法拉第（M. Faraday）关于电磁实验的基础上提出了麦克斯韦方程组，预言了电磁波的存在，建立了光的电磁理论。

由于算出电磁波在真空中的传播速度与光在真空中的传播速度相同，麦克斯韦断言，光就是频率在某一范围的电磁波。以前从未有人想过光、电和磁之间存在着如此重要的关联。



麦克斯韦方程组是 19 世纪偏微分方程最伟大、最壮观的胜利，被誉为继科学史上最有影响力的牛顿之后“物理学的第二次大统一”。

在麦克斯韦百年诞辰时，诺贝尔奖获得者、理论物理学家爱因斯坦（A. Einstein）盛赞他对于物理学做出了“自牛顿时代以来的一次最深刻、最富有成效的变革”。



据说，在爱因斯坦书房的墙壁上，悬挂著三幅相片：法拉第、麦克斯韦、牛顿（I. Newton）。 当今，现代通讯的全套装备一从无线电、电视到雷达以及手机使用的微波通讯等都自然而然地来到了人们面前，使人类的生活达到了空前的丰富多彩。

所有这一切的原动力都是麦克斯韦的 4 个方程式和一些简单的计算，麦克斯韦方程组因此也被列入“改变世界面貌的 10 个公式”之一，其实，它们不仅改变了世界，它们也打开了一个全新的世界。

最后申明：作为一个材料收集者，同时不过是为了打发时间去组织这些材料。当然在这个过程中，尽量遵循一些以个人粗糙的看法为基础的指导原则，也积极谦虚咨询各位前辈。强调这一点，只希望读者在花时间和精力阅读时能够了解一点点这个学科的大概内容和学习方向。如果评论区有做这一块小伙伴再补充就更好了，感谢！

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