整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，\(m＞1\)，方程\(a^2-a+1-c^m=0\)，没有正整数解

太阳

整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，\(m＞1\)，方程\(a^2-a+1-c^m=0\)，没有正整数解

太阳

\(m＞2\)，方程:\(a^2+ab^2+a^2b-a+1=c^m\)，没有正整数解

太阳

\(m＞3\)，方程:\(a^2+ab^2+a^2b-a+1=c^m\)，没有正整数解

太阳

a＞1，m＞1，方程 a^2-a+1=c^m，没有正整数解
找到1个反例，a^2-a+1=7^3，a＝19
m＞2，方程 a^2+ab^2+a^2b-a+1=7^3，没有正整数解
找到1个反例，方程 a^2+ab^2+a^2b-a+1=7^3，a＝1，b＝18
m＞3，方程 a^2+ab^2+a^2b-a+1=c^m，没有正整数解
找到1个反例，方程 a^2+ab^2+a^2b-a+1=7^4，a＝10，b＝11
不知是否找到其它反例？

yangchuanju

太阳2楼命题——整数a>1，c>1，m>2，方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^m，没有正整数解
给定一个特定的b，再给定一系列c和m，可得对应的a；如果a是整数则一组整数解被找到。（只计算a1）
给定b=0--22，c=1--100，m=1--7共计算出71个反例——
b\m        1        2        3        4        5        6        7        小计
0        10        1        2        1        1        1        1        17
1        7        3        0        0        1        0        0        11
2        5        1        0        0        0        0        0        6
3        4        0        0        0        0        0        0        4
4        3        2        0        0        0        0        0        5
5        2        2        0        1        0        0        0        5
6        2        3        1        0        0        1        0        7
7        1        2        1        0        0        1        0        5
8        1        0        0        0        0        0        0        1
9        1        2        0        1        0        0        0        4
10        0        0        0        0        1        0        0        1
11        0        2        0        1        0        0        0        3
12        0        0        0        0        0        0        0        0
13        0        0        0        0        0        0        0        0
14        0        0        0        0        0        0        0        0
15        0        1        0        0        0        0        0        1
16        0        0        0        0        0        0        0        0
17        0        0        0        0        0        0        0        0
18        0        0        1        0        0        0        0        1
19        0        0        0        0        0        0        0        0
20        0        0        0        0        0        0        0        0
21        0        0        0        0        0        0        0        0
22        0        0        0        0        0        0        0        0
小计        36        19        5        4        3        3        1        71

b        m        c        a
0        1        1        1
0        1        3        2
0        1        7        3
0        1        13        4
0        1        21        5
0        1        31        6
0        1        43        7
0        1        57        8
0        1        73        9
0        1        91        10
0        2        1        1
0        3        1        1
0        3        7        19
0        4        1        1
0        5        1        1
0        6        1        1
0        7        1        1
1        1        3        1
1        1        9        2
1        1        19        3
1        1        33        4
1        1        51        5
1        1        73        6
1        1        99        7
1        2        3        2
1        2        17        12
1        2        99        70
1        5        3        11
2        1        7        1
2        1        19        2
2        1        37        3
2        1        61        4
2        1        91        5
2        2        13        7
3        1        13        1
3        1        33        2
3        1        61        3
3        1        97        4
4        1        21        1
4        1        51        2
4        1        91        3
4        2        21        8
4        2        39        16
5        1        31        1
5        1        73        2
5        2        19        6
5        2        29        10
5        4        17        116
6        1        43        1
6        1        99        2
6        2        13        3
6        2        27        8
6        2        99        35
6        3        9        8
6        6        3        8
7        1        57        1
7        2        21        5
7        2        27        7
7        3        9        7
7        6        3        7
8        1        73        1
9        1        91        1
9        2        29        6
9        2        49        12
9        4        7        12
10        5        3        2
11        2        17        2
11        2        49        10
11        4        7        10
15        2        39        5
18        3        7        1

yangchuanju

太阳1楼命题——整数a>1，c>1，m>1，不定方程a^2-a+1-c^m=0的整数解
令b=0，即变成不定方程a^2-a+1-c^m=0的整数解，内有17个有整数解的；
其中不论m等于几，总有一个整数解：a=1，c=1；
若不允许m=1，则17个整数解变成7个整数解；
再去掉6个a=1，c=1，仅剩一个整数解a=19，c=3，此乃太阳4楼给出的第一个反例——
“a＞1，m＞1，方程 a^2-a+1=c^m，没有正整数解
找到1个反例，a^2-a+1=7^3，a＝19”。

不允许b=0，m=1，不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^m尚有28个整数解；
其中m=2,3,4,5,6,7的分别有18,3,3,2,2,0个；
再假定m大于2，还有10个（包括太阳先生给出的2个）——
b        m        c        a
1        5        3        11
5        4        17        116
6        3        9        8
6        6        3        8
7        3        9        7
7        6        3        7
9        4        7        12
10        5        3        2
11        4        7        10
18        3        7        1

yangchuanju

太阳《质数公式，素数判断，求证：c=p》1楼命题1,2——
已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2
整数a≠0，b≠0，m≠0，t≠0，奇数c＞0，素数p＞0
求证:c=p
已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2
整数a>0，b>0，m>0，t>0，奇数c＞0，素数p＞0
求证:c=p

为避免方程字母混淆，将太阳命题中的m换成s——
已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，s^2+st^2+s^2t-s+1=c^2
整数a≠0，b≠0，s≠0，t≠0，奇数c＞0，素数p＞0
求证:c=p
已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，s^2+st^2+s^2t-s+1=c^2
整数a>0，b>0，s>0，t>0，奇数c＞0，素数p＞0
求证:c=p

在前述单个命题条件的71个整数解中，符合该楼命题一个条件的整数解还有44个，
它们之中没有一个即满足命题中的第一条件，又满足第二条件，即命题中的方程无解；
b,t        m        c        a,s
1        1        3        1
1        1        9        2
1        1        19        3
1        1        33        4
1        1        51        5
1        1        73        6
1        1        99        7
2        1        7        1
2        1        19        2
2        1        37        3
2        1        61        4
2        1        91        5
3        1        13        1
3        1        33        2
3        1        61        3
3        1        97        4
4        1        21        1
4        1        51        2
4        1        91        3
5        1        31        1
5        1        73        2
6        1        43        1
6        1        99        2
7        1        57        1
8        1        73        1
9        1        91        1
1        2        3        2
1        2        17        12
1        2        99        70
2        2        13        7
4        2        21        8
4        2        39        16
5        2        19        6
5        2        29        10
6        2        13        3
6        2        27        8
6        2        99        35
7        2        21        5
7        2        27        7
9        2        29        6
9        2        49        12
11        2        17        2
11        2        49        10
15        2        39        5
请问太阳先生，无解即素数吗？

yangchuanju

太阳先生，无解即素数吗？

尽管先生在《质数公式，素数判断，求证：c=p》中一股脑儿地设计了上百个求证c=p的素数公式（命题），
它们之中估计有解的不多，即便有整数解，这个整数c一定是素数吗？
奉劝太阳先生，不要再在这里耗费你的精力啦，也不要再用这种方式耗费别人的精力啦！

太阳

已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2
整数a≠0，b≠0，m≠0，t≠0，奇数c＞0，素数p＞0
求证:c=p
例:c=13，c=127

yangchuanju

太阳 发表于 2024-11-7 15:50
已知：a^2+ab^2+a^2b-a+1=c，m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2
整数a≠0，b≠0，m≠0，t≠0，奇数c＞0，素数p＞0
求 ...

c=13和c=127一个共同解都没有，何谈无穷多解？       
a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=13        {{a=-3,b=0},{a=-3,b=3},{a=1,b=-4},{a=1,b=3},{a=4,b=-4},{a=4,b=0}}
m^2+m*t^2+m^2*t-m+1=13^2        {{m=-8,t=2},{m=-8,t=6},{m=3,t=-9},{m=3,t=6},{m=7,t=-9},{m=7,t=2}}
a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=127        {{a=-7,b=2},{a=-7,b=5},{a=3,b=-8},{a=3,b=5},{a=6,b=-8},{a=6,b=2}}
m^2+m*t^2+m^2*t-m+1=127^2        {{m=-48,t=7},{m=-48,t=41},{m=-42,t=11},{m=-42,t=31},{m=8,t=-49},{m=8,t=41},{m=12,t=-43},{m=12,t=31},{m=32,t=-43},{m=32,t=11},{m=42,t=-49},{m=42,t=7}}