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数学史：为什么，怎么看
André Weil（韦伊），1906-1998 ，法国人，20 世纪最伟大的数学家之一，他是法国 Bourbaki（布尔巴基）学派的早期成员。1941 年他移居美国后于 1958 年成为普林斯顿高等研究院教授，1976 年退休，他的主要贡献在连续群和抽象代数几何学方面，他于 1979 年获得 Wolf（沃尔夫）数学奖，并是巴黎科学院院和美国国家科学院外籍院士。
André Weil｜文
席南华｜译
陆柱家｜校
我的第一点将是显而易见的。某些学科的整个历史就由我们当代的几个人的回忆录组成，相比之下，数学不仅有历史，而且有很长的历史，至少大约始于Eudemus（欧德莫斯）（Aristotle（亚里士多德）的学生），数学史就被写成文字。于是，“为什么”这个问题可能是多余的，或者表述成“为谁”更合适。
一般的历史书为谁而写？为受过教育的普通人，如 Herodotus 所为？为政治家和哲学家，如 Thucydides 所做？为自己的史学家同行，如现在大多数的情况？艺术史家的合适读者是什么人？他的同事，或大众艺术爱好者，或艺术家（艺术史家似乎对他们没什么用处）？音乐史怎么样呢？它主要关注音乐爱好者，或作曲家，或表演艺术家，或文化史家，或是完全自立的学科，仅限于从业者鉴赏？类似的问题已在显赫的数学史家，Moritz Cantor ，Gustaf Enestrom ，Paul Tannery（塔内里），中热烈地争执多年，像对大多数其他话题一样，Leibniz（莱布尼茨）早已有话要说:
“历史学的用处不只是可以给每一个人应得的公道以及其他人可以期盼类似的称赞，也通过辉煌的事例促进发现的艺术，昭示其发现的方法。”
人应该被永久的声望这一前景驱励至更高的成就当然是一个从古代传承下来的经典主题，比起先祖我们似乎变得对此不太易受影响，尽管它或许就没那么发挥威力。至于 Leibniz 的说法的后面一部分，其旨意是清楚的。他想要科学史家首先要为有创造力或将有创造力的科学家而写，他在写作回顾其“高贵的发明”微积分时在脑海中就是以那些人为读者。
另一方面，如 Moritz Cantor 注意到那样，在处理数学史时，可以把它看做一个辅助性的学科，意指为真正的历史学家提供根据时间、国家、主题和作者等整理的数学事件的可靠编目。于是，数学史是技术和手工艺史的一部分，且是不太显要的部分，从而整个地从外部看待它是合理的。研究 19 世纪的一个史学家需要知道一些关于铁路机车带来的进步的知识，为此他必须依靠专家，但他不关心机车如何工作，也不关心投入到创立热力学的艰苦巨大的才智努力。类似地，航海表和其它航海辅助技术的发展对研究 17 世纪英格兰史的专家并非无足轻重，但 Newton（牛顿）在其中的作用至多给他提供一个脚注；Newton 作为铸币厂的监管人（Newton 在其 53 岁时任铸币厂监督，3 年后任厂长），或也许作为一个显赫贵族的情妇的叔叔，比起 Newton 作为数学家，更接近他的兴趣点。
换个角度看，数学偶尔可以作为某种“示踪物”提供给文化史家以研究各种文化的互相影响.随着这个角度，我们来到更接近我们数学家真正兴趣所在的事情；不过，即使这儿，我们的看法和专业的历史学家有很大的差别.对他们而言，一枚在印度某地发现的罗马钱币有显著的意义，但一个数学理论几乎不会这样。
这并不是说，一个定理，甚至在相当不同的文化环境，不会屡次被重新发现某些幂级数展开似乎独立地在印度，日本，欧洲被发现。Pell（佩尔）方程（Pell方程，实由 Fermat 提出；后 Euler 以为由 Pell 提出，并写入其著作中，故后人皆称其为 Pell 方程）的求解方法在 12 世纪的印度被 Bhaskara（婆什迦罗）阐述，然后，在 1657 年，因接受 Fermat（费马）的挑战，再度被 Wallis（沃利斯）和 Brouncker（布龙克尔）阐述。人们甚至能为这样一种看法提出论据，类似的方法可能希腊人，也许 Archimedes（阿基米德）自己已经知道；例如 Tannery 提议，印度人的解法可能具有希腊身世；迄今，这必定仍然是一个没用的推测，当然没人会提出在 Bhaskara 和我们 17 世纪的作者之间有联系。
另一方面，楔形文字记载的二次方程代数求解方法，披着几何的外袍，却压根儿没有任何几何动机，在 Euclid（欧几里得）那儿再次现身，数学家会发现把后一种论述称作“几何代数”是合适的，并倾向于假设它与巴比伦有联系，即使缺乏任何具体的“历史”证据。没人索要文献以证实希腊文，俄文和梵文的共同起源，或提出理由反对将它们定为印-欧语言。
现在是时候，离开那些普通人及其他学科专家的观点和意愿，回到 Leibniz [的观点]，本质地，也从我们数学家自利的角度考虑数学史的价值。仅仅略微偏离 Leibniz ，可以说它对我们的首要用处是把一流数学工作的“辉煌的例子”放置或保持在我们眼前。
但这使得史学家必需么？或许不，Eisenstein（艾森斯坦）很小的时候通过阅读 Euler（欧拉）和 Lagrange（拉格朗日）的著作爱上数学，没有史学家告诉他这么做或指导他阅读。不过比起现在，在他那个时期数学以不那么忙碌的步伐前进。诚然，一个年轻人现在可以在其同代人的工作中寻找榜样和激励，不过很快就会发现这有严重的局限。另一方面，如果想回溯更遥远的过去，他可能发现自己需要一些指点，是史学家的职责，或至少是对历史有感知的数学家的职责，给予指点。
史学家还能在另一方面起作用，在想要学习当代工作时，凭经验我们都知道从个人的相识获益多少；那些大大小小的会议几乎没有任何其它的目的。过去的伟大数学家的生活可能多是沉闷不那么激动人心的，或可能在普通人看来似乎如此；对我们而言，他们的传记在生动再现这些大家和他们的环境以及他们的论著这方面的价值不小。关于 Archimedes 除了已推断的他在叙拉古（Syracuse）保卫战中所起的作用外，哪位数学家不想知道更多呢？如果我们手头仅有 Euler 的论著，对 Euler 的数论工作的认识会是完全同样的么？Euler 在俄国定居，和 Goldbach（哥德巴赫）信件来往，偶然了解到 Fermat 的工作，在很久后的晚年开始与 Lagrange 通信谈数论和椭圆积分，我们读这样的故事不是无穷多地更有趣么？通过他的信件，这样的伟人就成了与我们近在咫尺的相识者，我们不应为此而愉快么？
然而，到目前为止，我仅仅触及了主题的表面。Leibniz 劝告研读“辉煌的例子”，不只是为了美的愉悦享受，而且主要是为了“促进发现的艺术”。在这一点上，就科学的事情而言，需要清楚区分战术与战略。
所谓战术，我理解为，科学家或学者在特定的时段里对手头可用工具的日常运用，这最好从称职的教师那儿和研读当代工作中学会。对数学家，可能包括一会儿用微分学，一会儿用同调代数，对数学史家，战术上和通史学家有很多的共同之处，他必须寻找源头上，或尽实际可能接近源头的资料证据；第二手的信息价值甚小。在有些研究领域，人们必须学会猜取和阅读原稿；在其他的领域人们可能满足于发表的书面材料，然而它们的可靠与否这一问题就必须总要放在心上。一个不可缺少的要求是对原始资料的语言具有足够的学识。所有历史研究的一个基本和明智的原则是：在原件可获得的情形下，翻译永远不能替代原件。幸好，除了拉丁和现代西欧语言外，15 世纪后的西方数学史极少需要其他语言知识；对很多的目的，法语、德语，有时英语甚至可能就足够了。
与战术截然不同，战略意指识别主要问题的艺术，从问题的切入点处攻关，建立未来的推进路线。数学战略关注长期目标，需要对大趋势和想法认识的长期演变有深刻的理解，这几乎无法区分于 Gustaf Enestrom 时常描述的数学史的主要目标，就是，“数学思想，从历史的角度考虑”，或如 Paul Tannery 说的那样，“思想的源流和一系列相关的发现”。那儿有我们正在讨论的学科的精髓，一个幸运的事实是，根据 Enestrom 和 Tannery，数学史家首先要注意的方面也是一个对那些要超越日常工作的数学家有最大价值的方面。
诚然，我们得出的结论没什么实质的内容，除非我们在什么是和什么不是数学思想上达成一致。关于这一点，数学家几乎无意请教外人，用 Housman（在被要求定义诗时）的话说，他[数学家]可能无法定义什么是数学思想，但当嗅探某个他知道的思想时，他觉得会清楚[它是否为数学思想]。他不大可能看到一个[数学思想]，比如，在 Aristotle 关于无限的推测中，也不会在中世纪的许多思想家关于同一主题的推测中，即使其中有些在数学上比 Aristotle 的有趣得多；无限成为数学思想是在 Cantor（康托尔）定义了等势集并证明了一些定理后。希腊哲学家关于无限的观点本身可能是很有意思的，但我们真的相信它们对希腊数学家的工作有很大的影响？我们被告知，由于它们，Euclid 不得不避免说存在无限多个素数，必须以不同的方式表达这个事实，那又怎么会，几页之后，他说道“存在无限多条线”与给定的线不可共测（incommensurable）？有些大学为“数学的历史和哲学”设立了教职，我难以想出来这两个学科有什么共同点。
不那么清晰的是这个问题，何处“普通概念（用 Euclid 的词语）止步，何处数学开始。前 n 个整数之和的公式与“Pythagoras 毕达哥拉斯”的三角数概念密切相关，肯定值得称为一个数学思想；但对初等的商业算术，自古代的众多的关于这一主题的教科书到 Euler 关于这一主题的混饭吃之作，它都现身，我们应该说啥？正二十面体的概念显然属于数学，对立方体这一概念、矩形、圆（可能与轮子的发明是分不开的）也能这样说么？此处有一个介于文化史和数学史之间的模糊地带；在哪儿划定界限不那么重要。所有的数学家能说的是，越近于穿过界限，他的兴趣往往会摇摆。
然而，一旦我们同意数学思想是数学史真正的研究对象，可能会得出一些有用的结论，其中一个由 Tannery 表述如下。没有任何疑问，他说，一个科学家[如果]能够拥有或获得在其科学的历史上做出杰出工作所需的全部素质；他作为科学家的才能越大，很可能他的历史工作会做得越好。作为例子，他提到了 Chasles（沙勒）于几何，Laplace（拉普拉斯））于天文，Berthelot（贝特洛）于化学；或许他也想到了其朋友 Zeuthen 。他很可能会援引 Jacobi（雅可比），如果 Jacobi 活着的时候发表了其历史工作。
但例子几乎没有必要，的确，很明显，识别模糊或不成熟形式的数学思想，现身光天化日下之前在许多被认为是恰当的假象下追踪它们的能力，最有可能是与比平均数学天赋更好的天赋连在一起的，更有甚者，它是这种天赋的一个主要成分，因为发现的艺术，很大程度上在于牢牢抓住“在空气中”的模糊想法，有的在我们周围飞，有些（援引 Plato（柏拉图）的话）漂浮旋绕在我们自己的头脑中。
一个人应该掌握多少数学知识才能做数学史？根据些人的说法，所需的比计划写的那些作者所知的差不多；有些人甚至说，知道的越少，在以开放的心态阅读那些作者和避免时代误植上就准备得更好。事实上恰恰相反。没有远超其表面主题的知识，几乎都不可能做到深刻理解任何特定时期的数学更常见的是，让它有趣的正是那些早期出现的概念和方法注定只是在后来显现在数学家的自觉意识中；历史学家的任务是分离它们并追踪它们对后续发展的影响或没有影响时代误植在于把这种[显]意识知识归因于某个从未有过[这种知识]的作者；把 Archimedes 看作为积分和微分学的先驱，其对微积分的奠基人的形响几乎不可能被高估，和想从他身上看见，正如有时所做的那样，一个微积分的早期实践者，这两者之间有巨大的差别另一方面，把 Desargues（德萨格）看做是圆锥曲线的射影几何的创始人不存在时代误植，但历史学家必须指出他的工作和 Pascal（帕斯卡）的工作，不久就陷入最深的被遗忘，只是在 Poncelet（庞斯莱）和 Chasles 独立地重新发现这整个学科后才被拯救出来。
类似地，考虑以下断言：对数建立介于 0 和 1 之间的数的乘法半群和正实数的加法半群之间的同构。这在比较近期之前是没有意义的。然而，如果我们把这些词汇搁在一边，看这个陈述背后的事实，无疑，在 Neper（纳皮尔）发明对数时，它们被他很好地理解了，除了他的实数概念不如我们的清楚；这就是为什么他必须诉诸运动学概念来澄清他的意思，正如 Archimedes 出于类似的原因，在他的螺线的定义中所做的那样。我们进一步回溯；在 Euclid 的《几何原本》第 5 卷和第 7 卷中建立的量的比值和整数的比值理论，由于他称之为“重比”（double ratio），我们称之为比的平方，被看做是群理论的早期篇章这一事实是毋庸置疑的。从历史上看，音乐理论提供了整数比的希腊群理论是有道理的，与埃及那儿分数的纯加法处理形成鲜明对比；如果是的话，那儿我们就有纯数学和应用数学相互影响的一个早期例子。无论如何，没有群的概念，甚至带算子的群（groups with operators）的概念，我们不可能恰当地分析 Euclid [原本]第 5 卷和第 7 卷的内容，因为量的比值被处理为乘法群作用在量自身的加法群上。一旦采用这个观点，Euclid 的那些书就失去了神秘的特征，直接从它们通达 Oresme（奥雷姆）和 Chuquet（许凯），然后到 Neper 和对数的路线，就变得容易跟随。这样做，我们当然不是把群概念归功于这些作者中的任何一位；也不应把它归功于 Lagrange ，即使他做的是我们称之为 Galois（伽罗瓦）理论的东西。另一方面，即使 Gauss（高斯）未置一词，他当然对有限交换群有清晰的概念，在其研究 Euler 的数论之前就准备好了。
让我多援引几个例子 Fermat 的陈述表明他通过“无限下降法”的证明，对 n=1,2,3 的情形，掌握了二次型 X^2+nY^2 的理论。他没有记录那些证明；但最终 Euler 发展了那个理论，也使用无限下降法，所以我们可以认为 Fermat 的证明与 Euler 的没有太大的差别，为什么无限下降法在那些情形成功？知道对应的二次域有 Euclid 算法的历史学家很容易解释这一点；后者，用 Fermat 和 Euler 的语言和记号改写，正好给出他们用无限下降法的证明，就像 Hurwitz（胡尔维茨）对四元数算术的证明一样，类似地改写，给出 Euler（可能也是 Fermat）对表整数为 4 个平方和的证明。
再用微积分中 Leibniz 的记号 ∫ydx 。他一再坚持其不变的特征，先是在他与 Tschirnhaus（奇恩豪森）的通信中（他显得压根儿不懂），然后在 1686 年的《学术学报（Acta Eruditorum）》中；他甚至[专门]用了一个词（普适的（universalitas））。历史学家已经热烈地争议，什么时候，或是否，Leibniz 发现了相对不那么重要的结果，在某些教科书里，变得名为“微积分的基本定理”。但是在 Elie Cartan（嘉当）引入外微分形式，并证明记号 ydx1…dxm 不仅在自变量（或局部坐标）的变换下不变，甚至在拉回下也是不变的，之前，Leibniz 发现的符号的不变性几乎没有得到真正的赏识。
现在细看 Descartes（笛卡儿）和 Fermat 之间关于切线引起的争论。Descartes 断然决定，只有代数曲线是适合几何学家的课题，发明了一种求这些曲线的切线的方法，基于这个思想，一条可变曲线，与给定的曲线 C 交于点 P 处，当它们的交点方程在对应到 P 处有二重根时，变得在 P 处相切于 C 。不久，Fermat 用无穷小方法找到摆线的切线后，挑战 Descartes 用其方法做同样的事情。当然，他不能做到；Descartes 就是 Descartes ，他找到了答案，给了一个证明（“相当短，且相当简单”，用他为这个情形发明的旋转的瞬时中心法），补充道他可以提供另一个“更合乎他的口味和更几何的”证明，但省略了“以免去写下来的麻烦”；好吧，他说，“这样的线是力学的”，他已经从几何中排除了它们。当然，这正是 Fermat 试图表达的观点；他知道，Descartes 一样知道，代数曲线是什么，但对他的思考方式和 17 世纪大部分的几何学家而言，把几何限制于这些曲线是怪异的。
得以洞见一个伟大数学家的特点和他的弱点是一种清白的快乐，甚至严肃的历史学家自己也无需否认。但从那个事件我们还能得出什么结论呢？微不足道，只要微分几何与代数几何的区别还没有澄清。Fermat 的方法属于前者，依赖于局部幂级数展开的前几项；它为微分几何和微分学所有以后的发展提供了开端。另一方面，Descartes 的方法属于代数几何，但限制于它，在需要适用于相当任意的基域上的方法之前，是奇怪的。这样，在抽象代数几何赋予它完全的意义之前，争论要点不能被也确实没有被恰当地意识到。
还有另一个原因，为什么数学史这一行，可以被那些现在或曾经活跃的数学家或至少与活跃的数学家有密切联系的人，最佳地从事；各种各样的误解并非不常发生，我们自己的经验有助于保护我们。例如，我们太知道，一个人不应该总是假设一个数学家完全意识到前人的工作，即使当他把它包括在其参考文献中时；我们当中谁读过他在自己的作品中列入参考文献的所有的书？我们知道数学家在他们的工作中很少受到哲学思考的影响，即使他们声称严肃对待它们；我们知道他们有自己的方式处理基础问题：交替于满不在乎的无视和最痛苦的挑剔关注。最重要的是，我们已经了解到原创思维与常规推理的差别，数学家常觉得为了记录他必须写出常规推理以取悦同行，或者也许只为取悦他自己、一个冗长费力的证明可能是作者在表达自己时不那么贴切的迹象；但更常见的是，如我们所知，这指明他在种种[能力的]局限下劳作，这些局限阻止他把一些非常简单的想法直接翻译成文字或公式。这样的例子可以给到数不清，从希腊几何学（可能最终被这样的局限所扼制）到所谓的语言到 Nicolas Bourbaki（布尔巴基）他甚至有一次考虑在这类证明的页边空白处用一个特殊的符号警示读者。严肃的数学史家的一项重要任务，有时也是最难的之一，正是要从过去的伟大数学家的工作中真正新的部分筛出这样的常规内容。
当然数学天赋和数学经验不足以成就合格的数学史家。再次援引 Tannery ，“首先需要的是对历史的一种品味；一个人必须形成一种历史感”。换句话说，要求一种理智上同情的素质，拥抱过去的时代，同样拥抱我们自己的时代。即使是相当杰出的数学家也可能完全缺乏这种素质；我们中每个人也许都能说出几个坚定拒绝了解自己工作以外的任何工作的人，也有必要不屈从这样（对数学家是自然）的诱惑，在过去的数学家中专注于最伟大的，忽略只有次要价值的工作，即使从审美享受的角度来看，持这样的态度可能失去很多，如同每一位艺术爱好者所知；从历史上看，它可以是后果极严重的，因为在缺乏合适的环境下，天才罕有茁壮成长的，对后者的一定的了解是恰当理解和欣赏前者的必要的前提，甚至只要可能，对数学发展的每个阶段在使用的教科书应仔细检查，以便发现，在某个特定的时间，什么是以及什么不是常识。
记号也有其价值，即使它们表面上看来不重要，它们可能为历史学家提供有用的指针；例如，当他发现多年来，甚至现在，字母 K 都被用来表示域，并且德语字母表示理想，他的任务的一部分是解释为什么。另一方面，经常出现记号与主要的理论进展分不开的情况，代数记号缓慢发展是这样的情况，最终在 Viete（韦达）和 Descartes 手上完成。Leibniz（也许是有史以来最伟大的符号语言大师）对微积分的高度个人创造的记号又是这样的情况；正如我们已经看见，它们表征 Leibniz 的发现那么成功，以致后来的历史学家，被这些记号的简洁欺骗，没有注意到其中的一些发现。
于是，历史学家有他自己的任务，即使它们与数学家的那些任务重叠，有时也可能与之一致。例如，在 17 世纪发生，一些最优秀的数学家，在除了代数学以外任何数学领域都缺乏直接的前辈，有许多工作要做，在我们看来，很多会落到历史学家身上，编辑，出版，重构希腊人，Archimedes ，Apollonius（阿波罗尼奥斯），Pappus（帕普斯），Diophantus 的工作。甚至现在，不必提及更古老的作品，在研究 19 世纪和 20 世纪的产出，历史学家和数学家并非不常见地会发现他们自己在共同的阵地上。从我自己的经验，我可以就在 Gauss 和 Eisenstein 中找到的建议的价值作证。Bernoulli（贝努里）数的 Kummer（库默尔）同余，多年被看做仅是好奇后，在 p 进 L 函数的理论中焕发新生，Fermat 关于无限下降法用在亏格 1 的 Diophantus 方程研究中的思想已在同样主题的当代研究中证明其价值。
那么，当都在研究过去的工作的时候，什么把历史学家区别于数学家？没有疑问，部分地，他们的技术，或者，如我提出说成，他们的战术；但主要地，也许，他们的态度和动机。历史学家倾向于把他的注意力引向更遥远的过去和更多种类的文化；在这样的研究中，数学家可能发现从中除了得到审美满足和间接发现的乐趣之外几乎没有什么益处。数学家倾向于带着目的阅读，或者至少希望由此产生富有成效的建议。这里我们可以引用 Jacobi 在年轻时关于一本刚读过的书的话:“直到现在，”他说，“每当我学习了件有价值的工作，它就激发我原创性的想法；这次结果很是两手空空”。如 Dirichlet（狄利克雷）所注意的，我从他那儿借用了这段引语，讽刺的是，所说的这本书正是 Legendre（勒让德）的《积分练习（Exercices de calcul integral）》，里面有椭圆积分的工作，很快就为 Jacobi 最伟大的发现提供了灵感；但那些话是典型的。数学家去阅读最主要是为了激发他的原创性（或者，我可以补充说，有时不是那么原创的）思想；我认为，说他的目的比历史学家的是更直接的功利主义没有不公平。然而，双方基本的职责都是处理数学思想，那些过去的，那些现在的，如果他们能，那些未来的。双方都能在对方的工作中得到无价的训练和启迪。因此我最初的问题“为什么有数学史？”最后归结为问题“为什么有数学？”，幸运的是我未感到被召唤来回答。 |
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发表于 2024-11-8 19:59
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