【科普】“最小恒宽体”的上限取得新进展

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【科普】“最小恒宽体”的上限取得新进展

来源 Gregory Barber 梧桐阅览 2024 年 09 月 22 日 08:02 湖北

长期以来，数学家们一直好奇“恒宽形状”（shapes of constant width）在更高维度中的表现。一种出乎意料的简单构造给了他们答案。

“最小恒宽体上界”可以理解为在给定维度下，恒宽体的“体积”不能超过某个特定的上限。具体来说，这个上界指的是在所有可能的恒宽体中，能够构造出的最小体积的界限。这一研究涉及到数学的几何学和拓扑学，尤其在探讨高维空间中的形状时尤为重要。


这三个物体具有恒定的宽度，这意味着当它们被放置在两块平面之间时，它们会像球一样平滑滚动——尽管看起来似乎是不可能的

1986 年，当航天飞机“挑战者号”在发射 73 秒后爆炸时，著名物理学家理查德·费曼被召集来查明事故原因。他随后演示了“O 型环”密封件因低温而失效，导致了灾难性后果。但费曼还发现了其他的几处失误。

其中之一就是 NASA 工程师在计算 O 型环形状的方式。在飞行前的测试中，该机构的工程师反复测量了密封件的宽度，以验证它们是否没有变形。工程师们推测，如果 O 型环稍微被压扁了——例如，变成了椭圆形，而不是保持其圆形——那么它将不再具有相同的直径。事实却远非如此。

费曼后来写道，这些测量是无用的。即使工程师们进行了无限次的测量，并发现每次的直径都完全相同，仍然得到的是许多“恒宽体”。“圆形”碰巧只是其中之一而已。

可以说，最著名的非圆形恒宽体是雷洛三角形，你可以通过取三个圆的维恩图的重叠中心区域来构造它。在二维空间中，给定宽度下，雷洛三角形是具有最小面积的恒宽形状，而圆形则具有最大的面积。（编者注：很像健胃消食片的形状）

在三维空间中，最大的恒宽体是一个球体。在更高维度中，它就是一个更高维的球体——通过将一根针固定在一点并让它在每个方向上自由旋转所形成的形状。

可以完美滚动的形状，圆形是一种恒宽形状：将其夹在两条平行线上，它会平滑滚动。但还有一些看起来奇怪而尖锐的形状，也能够做到这一点。



但是，数学家们长期以来一直在思考，是否总能在更高维度中找到更小的恒宽形状。这类形状在三维空间中确实存在：尽管这些类似雷洛形的物体看起来有些尖锐，但将它们夹在两块平行平面之间时，它们会像球一样平滑滚动。不过，是否在所有情况下都成立却难以判断。也许在更高维度中，球体是最优的。因此，在 1988 年，当时普林斯顿大学的研究生奥德·施拉姆提出了一个听起来简单的问题：能否在任何维度中构造出比球体小得多的恒宽体？

现在，在今年 5 月发布的一篇论文中，五位研究人员报告称，答案是肯定的——其中四人从小在乌克兰长大，自高中或大学时期就相识。

这一结果不仅解决了一个长达数十年的问题，还让数学家们首次得以窥探这些神秘的高维形状。尽管这些形状定义起来很容易，但它们仍然出人意料地神秘，特拉维夫大学的数学家希里·阿特施泰因（未参与此研究）表示：“我们对他们的每一个新发现、每一种新的构造或计算，在现阶段都非常有趣。”现在，研究人员终于可以接触到一个曾经完全无法探索的几何领域。

种子递推法

安德烈·阿尔曼和丹尼洛·拉德琴科在 2000 年代中期在基辅的一所数学重点高中相遇，并曾是乌克兰数学奥林匹克竞赛队的队友。他们成为了朋友，但后来没有保持密切联系。后来，他们各自的数学工作使他们相继与安德烈·普里马克和安德烈·邦达连科产生了联系——这两人在 1990 年代曾一起就读于基辅国立大学。如今，这四位数学家已搬到世界各地从事不同的研究项目，但他们每周两次通过 Zoom 视频会议，一起研究复杂的几何证明。


与他们的合作者一起，安德烈·邦达连科（左）和丹尼洛·拉德琴科最近证明，在高维空间中总能找到小的恒宽形状

恒宽形状最初并不在计划内。去年，这个团队正试图回答一个相关的问题——博尔苏克问题，这个问题困扰着杰出数学家们超过一个世纪。但在他们的会议中，一个想法不断浮现：当施拉姆在 1980 年代提出有关恒宽体的问题时，他还建议理解这些形状可能为解决博尔苏克问题提供一种途径。

这些乌克兰数学家最初追求的是不同的方法，其中一些人对改变方向持犹豫态度。但现任挪威科技大学的邦达连科坚持认为，他们应该尝试，即使这对他们没有直接帮助。“他总是强调这个问题本身的重要性。”目前在曼尼托巴大学担任博士后研究员的阿尔曼说。最终，团队的其他成员同意进行尝试。

要理解他们的工作，回想一下二维中的雷洛三角形会有所帮助。假设你想构建一个给定宽度的雷洛三角形。

● 首先绘制一个等边三角形——数学家称之为种子。

● 选择三角形边界上的一个点，并以该点为中心绘制一个半径等于所需最终形状宽度的圆。

● 现在在三角形的每个边界点上重复这个过程，以得到一组无限多个圆。

● 观察这些圆的重叠区域。在这个区域的某个地方，你将能够找到一个恒宽体——你只需确定这个种子的子集。

● 在这种情况下，你可以只关注等边三角形的三个顶点，而不是其边界上的所有点。围绕这三个点绘制圆形，你将得到一个维恩图；它的重叠区域就是雷洛三角形。



在更高维度中，可以使用相同的方法。首先，从一组点开始：你的种子。在每个点周围绘制一个球体，取它们的交集，并寻找存在于新空间中的恒宽体。但在高维空间中，确定种子比哪个子集能够给出你想要的形状要困难得多。

阿尔曼、邦达连科、普里马克和拉德琴科尝试了不同的种子，最终找到了一个他们想要使用的特定曲线。他们知道，这条曲线会给他们一个包含足够小的恒宽体的区域。但他们想理解恒宽体本身的形状。

在寻找答案的过程中，阿尔曼偶然发现了 2022 年在问答网站 MathOverflow 上的一篇帖子。帖子作者肯特州立大学的费多尔·纳扎罗夫独立尝试回答施拉姆的问题，他的方法与乌克兰团队的惊人相似，尽管他遇到了瓶颈。

四位数学家邀请他加入他们的团队。正是在那时，纳扎罗夫意识到了其他人所忽视的一点：他们的种子所产生的形状不仅仅是包含一个恒宽体，而是它本身就是一个恒宽体。


安德烈·阿尔曼（左）和安德烈·普里马克组成了一支来自乌克兰的四人数学家团队的一半，他们多年来一直在合作

他们的工作提供了一种令人惊讶的简单算法，用于构建一个 n 维的恒宽形状，其体积最多为球体的 0.9n 倍。阿尔曼表示，这个上限在某种意义上是任意的，应该能够找到更小的恒宽体。但这足以回答施拉姆的问题，证明随着维度的增加，最小和最大恒宽体的体积之间的差距呈指数增长。尽管他们的结果背后有复杂的思想，阿尔曼表示，他们的构造是本科生应该能够验证的。

继续前进

对于希伯来大学的吉尔·卡莱（施拉姆老师）来说，看到施拉姆的问题有了答案，带来了个人的满足感。施拉姆在 2008 年因一次徒步事故去世，在多个领域取得了重要进展。但卡莱也对结果的理论后果感到兴奋。他表示，之前有可能在更高维度中，这些形状在体积属性上都会表现得像球体。但“事实并非如此。这意味着这些高维体的理论非常丰富。”

这个理论甚至可能具有实际应用。毕竟，在低维空间中，恒宽体已经展现出惊人的实用性：例如，雷洛三角形在钻头、吉他拨片和消防栓的防篡改螺母中都有出现。阿尔曼表示，在更高维度中，他们的新形状可能在开发用于分析高维数据集的机器学习方法中发挥作用。邦达连科在团队中以阿尔曼所称的“疯狂想法”而闻名，他也提出了与数学的遥远分支之间的联系。

寻找最小的恒宽体仍在继续——在所有维度大于 2 的情况下仍然是一个未解的问题。团队曾短暂使用他们的构造方法寻找一个在三维中有前景的候选体，但最终未能如愿：结果发现它比已知的最小体大出极小的百分之一。目前，这些数学家决定放弃这一追求，回归他们在博尔苏克问题上的工作。在他们的努力之后，留下了一个充满新高维形状的世界，供其他人去探索。

中文翻译编辑校对：酉木木

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