第52号梅森素数

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最新的梅森素数是在2024年10月21日由GIMPS项目发现的，它是2^136279841-1。

第52个梅森素数于2024年10月21日被发现，这也是迄今为止发现的最大素数。这个梅森素数按照十进制计算有41024320位数字，比此前最大纪录的素数（24862048位）多1600多万位。
发现过程
第52个梅森素数的发现得益于“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。任何人只要去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目去搜寻梅森素数。
梅森素数简介
梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中指数p是素数。梅森素数的研究历史悠久，早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2^p-1的形式。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数学海洋中的璀璨明珠。
前沿意义
梅森素数的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在计算机科学、密码学等领域也有广泛的应用价值。例如，梅森素数在加密算法的改进中发挥着重要作用，因为目前使用的大多数加密方式都建立在对大数的分解上，秘钥中使用的素数越大，那么对加密内容来说，被破解的难度越大。
最新进展
截至2024年10月21日，人类已知的梅森素数共有52个。最新的第52个梅森素数的发现标志着这一领域的又一重大突破，也为未来的科学研究提供了新的方向和可能性。

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第52号梅森素数
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第52个梅森素数被发现
http://www.zizzs.com/gk/gaokao/182346.html

太阳

第52号梅森素数，使用什么方法找到第52号梅森素数？

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《初等数论及其应用（第5版）》7.3节习题31——
证明：如果n是一个正整数且2n+1是一个素数，那么或者(2n+1)|Mn，或者(2n+1)|(Mn+2)。
（提示：用费马小定理证明Mn*(Mn+2)=0 (mod 2n+1)）

换一种说法，
对于梅森数2^p-1当指数n是模4余3的素数且2n+1也是素数时，2^p-1一定能够被2n+1整除，例p=11,23,83,131,179,191等；
对于正整数2^p+1当指数n是模4余1的素数且2p+1也是素数时，2^p+1一定能够被2p+1整除，例p=5,29,41,53,89,113,173,233,281等。

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指数n是模4余3的奇素数时，梅森数2^n-1及素因子减1模8余2,8,10,16,18，……8k,8k+2；
指数n是模4余1的奇素数时，梅森数2^n-1及素因子减1模8余6,8,14,16,20，……8k,8k+6；
梅森数都是模8余7的，其素因子都是模8余7或余1的，k≥1。

指数n是模4余1的奇素数时，(2^n+1)/3的素因子减1模8余2,8,10,16,18，……8k,8k+2；
指数n是模4余3的奇素数时，(2^n+1)/3的素因子减1模8余6,8,14,16,20，……8k,8k+6；
正整数(2^n+1)/3都是模8余1的，其素因子都是模8余3或余1的，k≥1。

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不大于10000的模4余3素数中有100个2p+1型素数，它们都是相应梅森数的一个最小素因子——                                                       
p        2p+1                p        2p+1                p        2p+1
3        7                2339        4679                5303        10607
11        23                2351        4703                5399        10799
23        47                2399        4799                5639        11279
83        167                2459        4919                5711        11423
131        263                2543        5087                5903        11807
179        359                2699        5399                6131        12263
191        383                2819        5639                6263        12527
239        479                2903        5807                6323        12647
251        503                2939        5879                6491        12983
359        719                2963        5927                6551        13103
419        839                3023        6047                6563        13127
431        863                3299        6599                6899        13799
443        887                3359        6719                6983        13967
491        983                3491        6983                7043        14087
659        1319                3539        7079                7079        14159
683        1367                3623        7247                7103        14207
719        1439                3779        7559                7151        14303
743        1487                3803        7607                7211        14423
911        1823                3851        7703                7643        15287
1019        2039                3863        7727                7691        15383
1031        2063                3911        7823                7823        15647
1103        2207                4019        8039                7883        15767
1223        2447                4211        8423                8111        16223
1439        2879                4271        8543                8243        16487
1451        2903                4391        8783                8663        17327
1499        2999                4871        9743                8951        17903
1511        3023                4919        9839                9059        18119
1559        3119                4943        9887                9371        18743
1583        3167                5003        10007                9419        18839
1811        3623                5039        10079                9479        18959
1931        3863                5051        10103                9539        19079
2003        4007                5171        10343                9791        19583
2039        4079                5231        10463                       
2063        4127                5279        10559                       

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素指数不大于10000时，有22个梅森素数2^n-1——               
指数        位数        数值
2      1      3
3        1        7
5        2        31
7        3        127
13        4        8191
17        6        131071
19        6        524287
31        10        2147483647<10>
61        19        2305843009213693951<19>
89        27        618970019642690137449562111<27>
107        33        162259276829213363391578010288127<33>
127        39        170141183460469231731687303715884105727<39>
521        157        6864797660...51<157>
607        183        5311379928...27<183>
1279        386        1040793219...87<386>
2203        664        1475979915...07<664>
2281        687        4460875571...51<687>
3217        969        2591170860...71<969>
4253        1281        1907970075...91<1281>
4423        1332        2855425422...07<1332>
9689        2917        4782202788...11<2917>
9941        2993        3460882824...51<2993>

素指数不大于10000时，有20个(2^n+1)/3型素数——       
指数        数值
3        3
5        11
7        43
11        683
13        2731
17        43691
19        174763
23        2796203
31        715827883
43        2932031007403<13>
61        768614336404564651<18>
79        201487636602438195784363<24>
101        845100400152152934331135470251<30>
127        56713727820156410577229101238628035243<38>
167        62357403192785191176690552862561408838653121833643<50>
191        1046183622...83<58>
199        2678230073...63<60>
313        5562466239...31<94>
347        9556244233...43<104>
701        3506757267...51<211>

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第23-52号梅森素数
序号    指数
23        11213
24        19937
25        21701
26        23209
27        44497
28        86293
29        110503
30        132049
31        216091
32        756839
33        859433
34        1257787
35        1398269
36        2976221
37        3021377
38        6972593
39        13466917
40        20996011
41        24036583
42        25964951
43        30402457
44        32582657
45        37156667
46        42643801
47        43112609
48        57885161
49        74207281
50        77232917
51        82589933
52        136279841

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2的1213次方减1是一个最小的尚未分解到底的梅森数，
2^1213-1<366>=327511×7150798418...71<63>×6022881435...11<297>
已经得到的素因子是327511和7150798418...71<63>，
没有分解到底的复合因子为297位。

1213模4余1，它的素因子减1应该是1213*8k或1213*(8k+6)型素数；
【第1素因子327511除以1213等于270余6，270除以8等于33余6，属于1213*(8k+6)+1型素数；】
第2素因子63位，第3素因子应该是63--148位；
63位第2素因子7.15*10^62以内的素数约为7.15*10^62/ln(7.15*10^62)个，
第3复合因子6.02288*10^296的平方根等于2.454*10^148，149位的2.454*10^198以内的素数约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)个，
63-149位之间的素数约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)-7.15*10^62/ln(7.15*10^62)≈2.454*10^148/ln(2.454*10^198)个；
其中1213*8k或1213*8k+6型素数约占1/(2*1213)，约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)/2426个。
首先求出这些素数再逐一试除，慢慢求算呗！

如不愿求素数，用63-149位中的1213*8k+1和1213*(8k+6)+1型的奇数逐个试除也是可以的；
这样的奇数约有2.454*10^148/2426个。

试除到整除出现，第3个素因子即被找到。
假定第3素因子不大于99位，297-99=198或297-99+1=199，余因子大于198或199位，仍有可能是合数，还需进一步试除下去；
假定第3素因子已达到100-149位，297-100=197或297-100+1=198，余因子小于197或198位，不可能再有大于100位的素因子，分解到底。
（在得到第3个素因子后，可用其它方法另行判定余因子是不是素数。）

p2=715079841864486572798550389025242773233223013545064445043124471
c3=602288143593720536806089286738709175972359125227761761564073227910379498285174671775644305722270614135100412938071141915024322878163325882047318951741757889916312348536315125683454292668478299147363953500168798099737705487101263107775268036487596518883077658199869205832214060428355682611836617711

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以下111个1213*8k+1和1213*(8k+6)+1型奇数，其中的素数只有15个（包含有2^1213-1的第1素因子327511，第12个素数）——                       
k        1213*8k+1        1213*(8k+6)+1        素数
0        ——        7279       
1        9705        16983       
2        19409        26687        26687 is prime
3        29113        36391       
4        38817        46095       
5        48521        55799        55799 is prime
6        58225        65503       
7        67929        75207       
8        77633        84911       
9        87337        94615        87337 is prime
10        97041        104319       
11        106745        114023       
12        116449        123727        123727 is prime
13        126153        133431       
14        135857        143135       
15        145561        152839        152839 is prime
16        155265        162543       
17        164969        172247       
18        174673        181951        174673 is prime
19        184377        191655       
20        194081        201359        201359 is prime
21        203785        211063        211063 is prime
22        213489        220767       
23        223193        230471        230471 is prime
24        232897        240175       
25        242601        249879       
26        252305        259583        259583 is prime
27        262009        269287       
28        271713        278991       
29        281417        288695       
30        291121        298399        298399 is prime
31        300825        308103       
32        310529        317807       
33        320233        327511        327511 is prime
34        329937        337215       
35        339641        346919       
36        349345        356623       
37        359049        366327       
38        368753        376031       
39        378457        385735       
40        388161        395439       
41        397865        405143        405143 is prime
42        407569        414847       
43        417273        424551       
44        426977        434255       
45        436681        443959       
46        446385        453663       
47        456089        463367       
48        465793        473071       
49        475497        482775       
50        485201        492479        485201 is prime
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