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高等数学一些出名的点:驻点,拐点,鞍点,极值点

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发表于 2024-11-14 09:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
高等数学一些出名的点:驻点,拐点,鞍点,极值点

原创 云深之无迹 云深之无迹 2024 年 10 月 08 日 23:45 江苏



1. 驻点

● 定义: 函数的一阶导数为零的点称为驻点。即,若f'(x)=0,则x为函数f(x)的驻点。

● 几何意义: 在驻点处,函数的切线平行于x轴,函数的增长或下降趋势可能发生变化。

● 与极值点的关系: 驻点是极值点的必要不充分条件,即极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。

2. 极值点

● 定义: 函数在某一点的取值比其附近任意点的取值都大(或小),则称该点为函数的极大值点(或极小值点)。

● 几何意义: 极值点对应函数图像上的峰值或谷值。

● 与驻点的关系: 极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。

3. 拐点

● 定义: 函数的凹凸性在该点发生改变的点称为拐点。

● 几何意义: 拐点处函数的图像由凹变凸或由凸变凹。

● 判断方法: 一般通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点。若二阶导数在拐点处变号,则该点为拐点。

● 高等数学上指曲线上凸与下凹的分界点。

拐点(Inflection point)或称反曲点,是一条连续曲线改变凹凸性的点,或者等价地说,是使切线穿越曲线的点。

4. 鞍点

● 定义: 鞍点是一种特殊的驻点,它既不是极大值点也不是极小值点。

● 几何意义: 鞍点附近的函数图像像马鞍的形状,即在某些方向上是极大值点,在另一些方向上是极小值点。

● 判断方法: 通常通过分析函数在鞍点附近的等高线或三维图像来判断。



若曲线图形在一点由凸转凹,或由凹转凸,则称此点为拐点。直观地说,拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在,且二阶导数在该点两侧符号相反,该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

二阶导数不存在,无定义点,看这个点的左右两边。

拐点的必要条件:设 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导,x0∈(a,b) ,若 (x0,f(x0)) 是曲线 y=f(x) 的一个拐点,则 f″(x0)=0 。

比如,f(x)=x^4 ,有 f″(0)=0 ,但是 0 两侧全是凸,所以 0 不是函数 f(x)=x^4 的拐点。

拐点的充分条件:设 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导,f″(x0)=0 ,若在 x0 两侧附近 f″(x) 异号,则点 (x0,f(x0)) 为曲线的拐点。

否则(即 f″(x0) 保持同号),(x0,f(x0)) 不是拐点。

二阶常系数非齐次线性微分方程



● 二阶: 微分方程中最高阶导数项为二阶导数。

● 常系数: 微分方程中各阶导数的系数均为常数。

● 非齐次: 方程右侧不为零,即存在一个非零的函数。

● 线性: 方程中未知函数及其各阶导数都是以一次方出现,且没有乘积项。

特征方程



解的情况





在前面说过,后面的叫激励项,也会影响最终的结果,就是特解。现在可以给出结果的有下面这几种。



方程里面的 e 的系数之间是线性无关的,也就是系数代表的项都为 0 。





上面这几个 PPT 也是对 e 无关的一个证明。


补一个反比例函数,绘图有用



在绝大部分情况下,我们会使用 θ 作为外积分,r 作为内积分;同时很容易确定二者的积分域:



这个是重积分变成累次积分时候的次序问题。

https://wap.sciencenet.cn/blog-39346-1287114.html?mobile=1

https://blog.arg.pub/2021/10/12/ ... E6%B3%95/index.html

https://math.fudan.edu.cn/_uploa ... 0b-a32e4e32dcfe.pdf

https://www.cnblogs.com/Mount256/p/17502532.html

https://www.cnblogs.com/Mount256/p/17502532.html

云深之无迹

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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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