十个难住 AI 的问题

蔡家雄

蔡氏增乘法全循环素数

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

当 r =0 时，是切比雪夫定理。当 r >=1 时，是蔡家雄猜想，推翻这个猜想，小奖1万元人民币。


全循环等差 7 生素数：7+2760*k, (k=0,1,2,3,4,5,6.)

全循环等差 13 生素数：100429184777+9240*13k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,12.)

全循环等差 17 生素数：17+341976204789992332560*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,16.)

全循环等差 20 生素数：88594326586038017+5645145551965920*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,19.)

全循环等差 23 生素数：478447998087407+5253390902760*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,22.)

全循环等差 24 生素数：13432401425380607+2056822562394600*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,23.)

全循环等差 25 生素数：223696034591087459+386198744371440*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,24.)

全循环等差 26 生素数：465808529215122257+16277673207475680*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,25.)

全循环等差 26 生素数：538344503011767833+56840949791906280*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,25.)

全循环等差 27 生素数：973044677408627339+38931014031589680*k, (k=0,1,2,3,4,5, ... ,26.)


蔡家雄 CAP 猜想

存在任意长的全循环素数等差数列（所有项以10为原根）。

构造方法：a+40d*k,  魔法公差：40d，

优选余数：a  mod  40=7, 17, 23, 19, 29, 33.


两端  a - 40d= 非质数 与 a+40d*(k+1)= 非质数，

如果 (a -1)/2^r=奇数 与 40d/2^t=奇数，是 互质 的，

这样 就可以完全避开公共素因子的瓶颈，适用：项数超过十项的。



可在高端GPU上实现的百万位量级全循环素数候选

设 Q -1 是只有一个奇素因子的 proth 普罗斯素数，

且 Q ≡ 17 或 33（ mod 40 )，

若 10^(2^n) ≡/1 ( mod Q )，则 Q 必是（ 很 大 ）全循环素数。

10223*2^31172165+1 =(30k+23)*2^(4t+5) ≡ 23*2^5+1 ≡ 17 ( mod 40 )

7*2^20267500+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

168451*2^19375200+1 =(30k+1)*2^(4t+4) ≡ 1*2^4+1 ≡ 17 ( mod 40 )

7*2^18233956+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

37*2^14166940+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

404849*2^13764867+1 =(30k+29)*2^(4t+3) ≡ 29*2^3+1 ≡ 33 ( mod 40 )

19249*2^13018586+1 =(30k+19)*2^(4t+6) ≡ 19*2^6+1 ≡ 17 ( mod 40 )

这 7 个候选中预计有一个或几个是全循环素数：这是一个值得用 GPU 素性/原根检验攻克的明确问题。



特殊整数的素性/原根检验（基 10 法）

设 n >= 3，r 为非负整数，p >= 7 是素数，

且 Q=p^(4r+1)*2^n+1 ≡ 17 或 33 ( mod 40 )，

若 10^((Q -1)/2) ≡ -1 ( mod Q )，则 Q 必是素数。

且 10^((Q -1)/p) ≡/1  ( mod Q )，则 Q 必是（全循环）素数。

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡家雄

具有完全循环节的一条龙素数

设 n >=2 ,              
                                                         
若 (2*10^n+7)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                          
                                                                              
设 n >=2 ,   
                                                                 
若 (4*10^n+23)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                                                                                

设 n >=2 ,      
                                                                       
若 (8*10^n - 17)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                    
设 n >=2 ,   

若 (2*10^n+61)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                                       

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 (8*10^n - 11)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

蔡家雄

设 p 和 2p+1 都是素数，

若 2p+1 ≡ 7, 19, 23  ( mod 40 )，则 10 是素数 2p+1 的原根。


蔡氏增乘法全循环素数

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

当 r =0 时，是切比雪夫定理。当 r >=1 时，是蔡家雄猜想，推翻这个猜想，小奖1万元人民币。


设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。



蔡氏增乘法全循环素数

设 n >= 3，

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*P+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17 或 33  ( mod 40 )，则 10 是素数 2^n*P+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏 异底 全循环素数（三个经典例子）

若 16^k+3 是素数，则 10 是该素数的原根。

若 16^k+7 是素数，则 10 是该素数的原根。

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，则 10 是这个素数的原根。


蔡氏全循环一条龙质数

若 4*10^n - 17 是质数，则 10 是该质数的原根。

若 4*10^n - 23 是质数，则 10 是该质数的原根。


若 16*10^n - 47 是质数，则 10 是该质数的原根。

若 16*10^n - 113 是质数，则 10 是该质数的原根。

若 64*10^n - 47 是质数，则 10 是该质数的原根。

若 64*10^n - 593 是质数，则 10 是该质数的原根。


若 64*10^n - 257 是质数，则 10 是该质数的原根。

若 64*10^n - 383 是质数，则 10 是该质数的原根。

蔡家雄

蔡家雄猜想

全循环互逆质数对有无穷多对

10 是 149 与 941 的原根，
10 是 179 与 971 的原根，
10 是 389 与 983 的原根，
10 是 1033 与 3301 的原根，
10 是 1097 与 7901 的原根，
10 是 1103 与 3011 的原根，
10 是 1109 与 9011 的原根，
10 是 1181 与 1811 的原根，
10 是 1223 与 3221 的原根，
10 是 1229 与 9221 的原根，
10 是 1949 与 9491 的原根，
10 是 3019 与 9103 的原根，
10 是 3343 与 3433 的原根，
10 是 3389 与 9833 的原根，
10 是 3767 与 7673 的原根，
10 是 7699 与 9967 的原根，
10 是 7949 与 9497 的原根，

五位数的全循环 互逆 质数对，

第 1 对: 10343 —— 34301
第 2 对: 10939 —— 93901
第 3 对: 11057 —— 75011
第 4 对: 11447 —— 74411
第 5 对: 11497 —— 79411
第 6 对: 11621 —— 12611
第 7 对: 11699 —— 99611
第 8 对: 11897 —— 79811
第 9 对: 12491 —— 19421
第 10 对: 12659 —— 95621
第 11 对: 13337 —— 73331
第 12 对: 13709 —— 90731
第 13 对: 13789 —— 98731
第 14 对: 13903 —— 30931
第 15 对: 14143 —— 34141
第 16 对: 14303 —— 30341
第 17 对: 15263 —— 36251
第 18 对: 15299 —— 99251
第 19 对: 15461 —— 16451
第 20 对: 16007 —— 70061
第 21 对: 16073 —— 37061
第 22 对: 16217 —— 71261
第 23 对: 16223 —— 32261
第 24 对: 16691 —— 19661
第 25 对: 16699 —— 99661
第 26 对: 16829 —— 92861
第 27 对: 17383 —— 38371
第 28 对: 17393 —— 39371
第 29 对: 17713 —— 31771
第 30 对: 17749 —— 94771
第 31 对: 17909 —— 90971
第 32 对: 18353 —— 35381
第 33 对: 18379 —— 97381
第 34 对: 18539 —— 93581
第 35 对: 18593 —— 39581
第 36 对: 18743 —— 34781
第 37 对: 18749 —— 94781
第 38 对: 18913 —— 31981
第 39 对: 19687 —— 78691
第 40 对: 19697 —— 79691
第 41 对: 30539 —— 93503
第 42 对: 30593 —— 39503
第 43 对: 30949 —— 94903
第 44 对: 30983 —— 38903
第 45 对: 31139 —— 93113
第 46 对: 31193 —— 39113
第 47 对: 32099 —— 99023
第 48 对: 32233 —— 33223
第 49 对: 32497 —— 79423
第 50 对: 32633 —— 33623
第 51 对: 32647 —— 74623
第 52 对: 32687 —— 78623
第 53 对: 33029 —— 92033
第 54 对: 33287 —— 78233
第 55 对: 33617 —— 71633
第 56 对: 33857 —— 75833
第 57 对: 33863 —— 36833
第 58 对: 34367 —— 76343
第 59 对: 34583 —— 38543
第 60 对: 34589 —— 98543
第 61 对: 35327 —— 72353
第 62 对: 35537 —— 73553
第 63 对: 35983 —— 38953
第 64 对: 35993 —— 39953
第 65 对: 36097 —— 79063
第 66 对: 36269 —— 96263
第 67 对: 36473 —— 37463
第 68 对: 37619 —— 91673
第 69 对: 37847 —— 74873
第 70 对: 38327 —— 72383
第 71 对: 38377 —— 77383
第 72 对: 38393 —— 39383
第 73 对: 38977 —— 77983
第 74 对: 38993 —— 39983
第 75 对: 39709 —— 90793
第 76 对: 39749 —— 94793
第 77 对: 39989 —— 98993
第 78 对: 70457 —— 75407
第 79 对: 71069 —— 96017
第 80 对: 71257 —— 75217
第 81 对: 72109 —— 90127
第 82 对: 72379 —— 97327
第 83 对: 74897 —— 79847
第 84 对: 75869 —— 96857
第 85 对: 76379 —— 97367
第 86 对: 77339 —— 93377
第 87 对: 78059 —— 95087
第 88 对: 78259 —— 95287
第 89 对: 79229 —— 92297
第 90 对: 79669 —— 96697
第 91 对: 90149 —— 94109
第 92 对: 90749 —— 94709
第 93 对: 90989 —— 98909
第 94 对: 91229 —— 92219
第 95 对: 91459 —— 95419
第 96 对: 92459 —— 95429

蔡家雄

判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,

并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有：2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591,

已证：127 和 7897466719774591 都是素数，

已证：2^127 -1 是素数，据此 7897466719774591 是梅森素数，

即有：2^126*(2^127 -1) 是完全数，

以及：2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。


卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数，
若 L(p-1)  mod  (2^p -1) ≡ 0, 则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)

蔡家雄

定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。


定义：若 15k±2 和 15k±4 是 四生素数，则称 15k 为 双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,

蔡氏8生素数猜想：设 (2n+1) 为任一奇数，

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 均有解。

奇数双中比猜想与此蔡氏8生素数猜想是等价命题。

蔡家雄

蔡氏 异底 全循环素数

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根，
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根，
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根，
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根，
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根，
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根，
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根，
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根，
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根，
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根，
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根，
10 是素数
3^250+2^251=190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根，
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根，

蔡家雄

蔡氏增乘法全循环素数

设 \(k\) , \(r\) 为非负整数，\(n\) 为正整数，

若 \(30k+7\) 与 \((30k+7)^{4r+1}*2^{2^n}+1\) 都是素数，

则 \(10\) 是素数 \((30k+7)^{4r+1}*2^{2^n}+1\) 的原根。

当 \(n=1,2,3,\) 且 \(r =0\) 时，都是定理。当 \(r >=1\) 时，是蔡家雄猜想。



设 \(30k+7\) 是素数，且 \(2^{32}=4294967296\)，

设 \(Q=(30k+7)*2^{4294967296}+1\) 且 \(30k+7 < 2^{4294967296}\)，

根据普罗斯素数定理 与 蔡氏增乘法全循环素数，

若 \(10^{(Q - 1)/(30k+7)} ≡/1\) \(( mod\) \(Q )\)，则 \(Q\) 必是（ 巨 大 ）全循环素数。



广义费马素数 与 蔡氏增乘法全循环素数

设 \(n >= 2\)，且 \(p>=7\) 是素数，

若 \(F=(p*2)^{2^n}+1\) 是素数，且 \(10^{(F - 1)/p} ≡/1\) \(( mod\) \(F )\)，

则 \(F=(p*2)^{2^n}+1\) 是（全循环）广义费马素数。