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做数学源自内心的渴望

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发表于 2024-12-25 18:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
做数学源自内心的渴望



来源:清华大学丘成桐数学科学中心

作者:YMSC

牛芸 刘博文|采访


研究相关

Q:您在 2014 年与导师陈秀雄以及唐纳森合作破解了丘成桐猜想,引起了很大轰动,可以简要介绍一下这个猜想,以及与合作者是如何解决其中最关键难题的吗?

孙崧:这个猜想说的是 Fano 流形上 Kahler-Einstein 度量的存在性等价于代数几何意义下的稳定性。它联系了微分几何、偏微分方程和代数几何三个学科。这里面的核心困难是如何从一列不收敛的 Kahler-Einstein 度量中引出一个代数簇来和稳定性假设得出矛盾。Kahler-Einstein 度量是一个完全非线性偏微分方程的解,从方程的角度取极限很困难;在黎曼几何里面作为度量空间我们可以得到比较粗糙的 Gromov-Hausdorff 极限,但好处是它是内蕴的。所以最关键的地方在于要证明 Gromov-Hausdorff 极限上有一个自然的代数簇的结构, 这也可以理解为某种正则性的提升问题。我们的处理方法结合了黎曼几何里的 Cheeger-Colding 理论和多复变函数论里构造全纯函数的 Hormander 技巧。当然在我们的具体论证时还需要克服很多更细致的技术难点。

Q:您的研究与陈省身先生、丘成桐先生的研究都有很深的渊源,可以请您谈一谈其中的关联吗?

孙崧:陈先生、丘先生在复几何的工作是奠基性的,后来这个学科又有了丰富而多元的发展。我的科研兴趣就起始于阅读他们和其他大家的文章, 这些经典也一直鼓舞着我。我的研究对象之一就是卡拉比-丘流形, 这个名称来自于丘先生对卡拉比猜想的证明, 而上面提到的丘成桐猜想又是卡拉比猜想的进一步延伸。顺带说一句卡拉比先生是我的博士导师陈秀雄老师的博士导师。我很荣幸能够在这个领域做出一些贡献, 也希望能继续传承下去。

Q:您如何看待数学与物理两者之间的关系?

孙崧:我做的东西和物理中的弦理论有一些关系,但是我本人并不是很懂物理。我参加学术会议时会经常碰到一些物理学家,大部分时候他们的报告对我来说都很困难,但我很佩服他们, 给我的感觉是他们的思维比数学家更大胆。偶尔我还是能从他们那里学到一些东西,而且熟悉之后也可以私下闲聊,我最近的工作也是受到了他们的观点的一些启发。我相信数学和物理的关系一定会越来越密切, 我自己也希望能够对此有更多了解。

Q:在您的理解中,几何与偏微分方程究竟如何深刻地联系起来?

孙崧:很多自然的几何结构都是用偏微分方程来刻画的, 比如刚才说的 Kahler-Einstein 度量。对偏微分方程的分析提供了一个强大的工具可以让我们更深刻地去理解这些几何结构的性质。但另一方面关于几何的理解也经常能够指导我们去研究方程的一个方向和思路,告诉我们什么是有意思的, 什么是有可能对的。这两者之间的深刻联系是现代微分几何学科最有意思的一个特色。

Q:您目前主要关心的问题是?

孙崧:我目前的兴趣主要集中在理解复几何里关于微分几何和代数几何之间的联系。具体说来我自己关心的一个问题是所谓的“塌缩”(collapsing),塌缩在几何里面是一个很有意思的现象,就是高维的几何结构可以塌缩到低维。这里面有很多我们现在还无法回答的问题,特别是在复几何里对塌缩的理解还是远远不够的。

Q:对于数学家来说,寻找一个有可能被解决的问题是重要的,您是如何培养这种寻找问题的能力的呢?

孙崧:我觉得可能没有必要刻意去培养这种能力。在学生阶段的时候,导师的角色很重要,导师的一个职责就是帮助你选择一些比较合适的问题。但最终还是要看自己的兴趣,对感兴趣的问题,即使这个问题关心的人较少,或者看起来很困难,也可以去尝试,也不一定非要把这个问题解决,可以围绕着这个问题想一些相关的、相对简单一些的问题,或者学习一些有用的工具,或者变换角度去理解与别的领域的关系。久而久之自己的所谓这种能力自然会得到提升。另外可以多跟导师和同学交流, 参加研讨班和学术会议, 这些都是好的问题产生的源泉。

给青年学子

Q:很多刚开始读研究生的同学会明显地感受到读论文与读数学书存在明显不同,您对他们有没有一些好的建议?该如何去平衡读论文与学习基础知识这两件事?

孙崧:在本科以及博士初级阶段,把基础知识打牢是很要紧的。当然打基础这个事情,你可以通过读书来进行,但是读一些经典的论文,也是一种办法。我觉得必须尽早做的是形成主动学习的习惯。不论是读书还是读论文,最好带着一些怀疑和批判的眼光。带着目的去形成自己的理解,比如书上写的东西不一定都是对的,就算是对的也不一定是最好的。读论文时作者可能会引用很多其他的文献,那么你就可以顺藤摸瓜学到更多。

Q:许多同学满怀热情投身于数学研究,但内心也会时常怀疑自己是否真的适合做研究,真的能出成果,您认为什么研究状态才是良性的,您对那些时常会处于自我怀疑状态的同学有什么建议?

孙崧:我觉得做数学研究在完全证明出结果之前,都有理由去怀疑自己。这是正常的,因为科研本身就是一个不断探索未知的过程。我的一个建议是,可以先从一些相对容易的问题入手,持续不断地慢慢积累经验,同时也能积累信心。在研究过程中当然需要正面乐观的思维状态,但也难免会遇见负面情绪,我们应当避免花太多时间聚焦于此,尽量想办法逃离这些情绪陷阱,教教课,与同学同事聊聊天或者适当放松运动一下,都是很好的选择。

Q:读一些伟大数学家年轻时故事的时候,常常见到他们每天持续工作十多个小时这种描述。您平日里也是如此高强度的做研究吗?该如何平衡数学与生活中其他的事情?

孙崧:我必须承认我并没有达到这么高的工作强度,我能坚持的就是每天都思考问题。有些问题可能很长时间都没能有进展,我会暂时放下一段时间, 但还是会不时回过头来看看。我认为思考数学问题需要专注,而关于工作效率则是因人而异。想要提高工作效率,每个人要找到属于自己的方法。数学是我生活的一部分,我现在有家有小孩,需要接送、照顾孩子,平时还需要抽时间锻炼身体,生活是比较忙碌的,但也很充实。我觉得一个正常的生活和家庭环境对数学研究是有促进作用的。

Q:您对于以后想要从事复几何/微分几何的年轻学子有什么建议?

孙崧:这个领域现在发展迅速, 但还有很多有趣而且困难的问题值得大家探索。我觉得对年轻同学来说,可以把眼光放长远一点,在早期多学习涉猎,尽量拓展自己的视野, 在力所能及的前提下也可以多听一些与此不相关的课程。这也是我的博士生导师陈老师,在我刚读博士时给予的建议。趁着年轻,多学一点总归是好的。不需要过早地将自己拴在一个问题上面,也不要把自己限制在一个领域里,数学里有许多东西都是相通的。现在学到的虽然不一定立即有用,但说不定以后什么时候就会派上用场。

求学生涯

Q:您从安徽怀宁县走出来,可以谈谈早年的求学生涯么?

孙崧:我妈妈是小学老师,所以我入学比同龄人早。我父母从来没有给我任何压力,给予了我相对宽松的成长环境。小学二年级的时候还因为字总是写不好而让我休学回老家玩了半年。他们会时常带我去逛书店,买一些我感兴趣的书。一路走来, 我的决定都是自己做出的, 他们都会在背后鼓励与支持。

Q:注意到您是科大少年班 02 级的学生,您在科大时对少年班这种培养模式最深刻的回忆是什么?

孙崧:上少年班对我来说也是偶然。高二的暑假放假前,班主任王老师跟我说可以尝试考一下,相当于提前适应高考,这对我来说非常幸运。少年班的选拔考试让我比较自然地从高中过渡到大学, 进入大学后印象最深刻的是我们一开始并没有一个特定的专业,可以有两年的时间去自由选择专业。我高中时对实验科学更感兴趣, 但到大学后才发现更喜欢数学。

Q:不仅仅是中科大,越来越多的学校加入了选拔青少年数学学子的过程。从您的求学经验上来看,这样的机会对那些青年学子产生怎样的影响?

孙崧:对怀有数学梦想的孩子们来说,多一些这样的机会是非常好的,我自己也是很有幸遇到这样的机会。但我认为大家不需要太过强调这个过程,也没必要专门为了上少年班花太多时间, 比如去参加高强度的辅导或者培训。毕竟通过选拔也好、考上大学也好,都只是人生的一个开始,而不应该作为一个终极目标。

Q:您的求学以及任教经历丰富多彩,从中科大,到威斯康星、伦敦帝国理工学院、石溪大学以及现在的加利福尼亚大学伯克利分校,我想不同的学校以及地域的研究风气可能不尽相同,可以谈一谈您对不同地方的感受吗?

孙崧:我在中科大读的本科,那里的学习氛围很浓厚, 外在的干扰很少。我在威斯康星大学读博士,系里有许多年轻有为的老师,都比较平易近人。我在帝国理工做博士后的时候幸运的碰上了那里几何学最繁荣的时代,相关方向教授、博士后、研究生、访问学者加起来有近五十人。石溪大学数学系旁边有一个 Simons 几何物理中心,那边讨论几何的人非常多,也有开设内容丰富的几何课程,研究生在那里能接受到很好的训练。伯克利是一个大系,各个方向的学术研究都是顶级的,也有许多优秀的青年学者能与之交流学习。

Q:海外数学家在促进国内数学发展可以起到哪些特别的作用?

孙崧:在美国的大学里,你会发现有许多非常优秀的华人数学家,我相信他们一定会成为数学界的主要力量。在我从事的微分几何领域,比如陈先生、丘先生都是主导, 现在也涌现了一批才华横溢的年轻华人学者。我觉得海外学者很自然的可以促进国内数学与国外的交流与合作。我个人也一直致力于培养来自中国的研究生。

Q:您认为作为一个数学家,最为珍贵的品质是什么?

孙崧:我认为需要有发自内心的渴望, 渴望去理解和挑战未知, 无论是一个问题或者一个现象。这很难得,也很珍贵。有了这个就可以专注、享受数学本身, 坚持走自己的路。

受访人简介


孙崧,加利福尼亚大学伯克利分校数学系教授。2002 年进入中国科学技术大学少年班。2006 年,赴美留学进入威斯康辛大学麦迪逊分校,2010 年,获得微分几何学博士学位,师从华人数学家陈秀雄。后进入伦敦帝国理工学院从事博士后研究。2013 年,进入石溪大学担任助理教授。2018 年,进入加利福尼亚大学伯克利分校。2014 年,获得斯隆奖。2018年,受邀成为在巴西里约热内卢举办的国际数学家大会演讲嘉宾。2019 年,与西蒙·唐纳森和导师陈秀雄同时获得奥斯瓦尔德·维布伦几何学奖。2021 年,荣获科学突破奖新视野数学奖。

本文载于“清华大学丘成桐数学科学中心”公众号,“数学大院”经授权编辑整理发布。

数学大院 2024 年10 月 22 日 20:00 北京

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