19 世纪后半叶德国的分析学

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19 世纪后半叶德国的分析学

来源：数学大院

尤塔·C·默茨巴赫  卡尔·B·博耶｜文

潘丽云｜译

简单的假设必须最为警惕，因为它们最有可能不被发现。——庞加莱

魏尔斯特拉斯和学生们

领衔 19 世纪后半叶柏林分析学的人是卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）。魏尔斯特拉斯在明斯特大学为中学教学做准备，那里的一位讲师克里斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann，1798—1851）对他关爱有加。

古德曼尤其对椭圆和双曲函数感兴趣，他的名字因古德曼函数仍为人们所铭记：如果 u 是 x 的满足方程 tan(u)=sinh(x) 的函数，那么 u 称为 x 的古德曼函数，记作 u=gd(x) 。比起这个小贡献，他对数学更重要的贡献是他给予他的学生魏尔斯特拉斯的时间与灵感，反过来，后者注定会成为 19 世纪中期最伟大的数学老师——至少，从他培养的成功研究人员的数量而言。古德曼使年轻的魏尔斯特拉斯认识到函数的幂级数展开式是多么有用的工具，这让魏尔斯特拉斯延续阿贝尔的重要工作，创作出了他最伟大的作品。

魏尔斯特拉斯 26 岁时才获得教师资格证，十多年来他在不同的中学任教。1854 年，关于阿贝尔函数的一篇论文发表在克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》上，从此让他获得了学界的名望，不久受聘柏林大学的教授职位。此时，魏尔斯特拉斯快四十岁了，一反伟大的数学家必定在人生早期有所成就的常理。

19 世纪中期以前，人们普遍认为，如果无穷级数在某一区间上收敛于一个连续可微的函数 f(x) ，那么对原级数逐项微分后的级数在同一区间上必将收敛于 f'(x) 。几位数学家表明，这种情形并不一定总是成立，只有级数在区间上一致收敛时逐项微分才可行，亦即，若能找到一个 N ，使得对区间上每一个 x 来说，当 n＞N 时，部分和 Sn(x) 与级数和 S(x) 之差均小于给定的 ε 。魏尔斯特拉斯表明，对于一致收敛级数来说，逐项积分也成立。在一致收敛性的问题上，魏尔斯特拉斯绝非孤军奋战，至少还有其他三位同时代的数学家也独立提出过这个概念——法国的柯西（可能在 1853 年）、剑桥大学的斯托克斯（在 1847 年）以及德国的赛德尔（P. L. V. Seidel，1821—1896）（在 1848 年）。先前接近狄利克雷和黎曼的海因里希·爱德华·海涅（Heinrich Eduard Heine，1821—1881），在 1870 年证明了如果加上一致收敛的条件，则连续函数的傅里叶级数展开唯一。然而，没有人比魏尔斯特拉斯更值得享有分析学严格化之父的美誉。从 1857 年到 1890 年退休，魏尔斯特拉斯劝诫一代学生谨慎使用无穷级数展开式。

魏尔斯特拉斯在分析上的重要贡献之一是解析延拓。魏尔斯特拉斯曾表明，函数 f(x) 关于复平面上点 P1 的无穷幂级数展开式，在以 P1 为圆心且通过最近奇点的圆 C1 内的所有点处收敛。若将此函数在圆 C1 内异于 P1 点的另一点 P2 附近展开，则该级数在以 P2 为圆心且通过离 P2 点最近的奇点的圆 C2 内收敛。这个圆可以包含圆 C1 之外的点，于是，这就扩展了由幂级数解析定义的函数 f(x) 所在的平面区域，这个过程仍可以在其他圆内继续下去。魏尔斯特拉斯因此定义解析函数为一个幂级数连同通过解析延拓得到的所有的幂级数。魏尔斯特拉斯的此类工作的重要性在数学物理学中体现得尤为明显，微分方程的解很少不是以无穷级数的形式呈现。

魏尔斯特拉斯的影响通过他的学生们施加的和通过他自己的讲座和著作施加的一样多。在微分方程领域，这就让我们想到拉扎勒斯· 富克斯（Lazarus Fuchs，1833—1902）。建立在法国数学家布里奥（Briot，1817—1882）和布凯（Bouquet，1819—1885）的工作以及黎曼关于超几何方程的论文的基础上，富克斯系统研究了复数域中线性常微分方程的正则奇点。他研究的直接启发源自魏尔斯特拉斯1863年所做的关于阿贝尔函数的讲座。富克斯的工作由柏林的弗罗贝尼乌斯（G. Frobenius，1849—1917）深化，并成为庞加莱研究的起点。

魏尔斯特拉斯的另一位在复分析领域做出重大贡献的学生是施瓦茨（H. A. Schwarz，1848—1921）。施瓦茨的兴趣在映射问题，特别受到魏尔斯特拉斯对黎曼使用狄利克雷原理的批评的影响。黎曼著名的映射定理用后来的术语可表述为：“在指定了一个内部点和一个边界点的像的情况下，给定的有界单连通曲面到另一个曲面的保角映射有且只有一个”（Birkhoff（伯克霍夫）1973，p.47）。魏尔斯特拉斯指出，黎曼的证明不可接受，因为在使用狄利克雷原理时，超出了存在最小积分这一限制。于是施瓦茨开始寻找符合映射定理的特例。这个研究让他获得了两个非常有用的工具，一个是他著名的“反射原理”，另一个是“交替过程”。他能获得许多特殊的映射，例如，他能够将单连通平面区域映射为圆，但无法达到他所期望的更广义的一般化。

魏尔斯特拉斯的另一位将因为他办的杂志和他对世界各地数学家的支持而取得重要国际地位的追随者，就是瑞典的格斯塔·米塔列夫勒（Gosta Mittag-Leffler， 1846—1927）。米塔列夫勒前往柏林大学之前，分别在巴黎大学跟随查理·埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901），在哥廷根大学跟随恩斯特·克里斯蒂安·尤利乌斯·舍林（Ernst Christian Julius Schering，1824—1897）学习。他对复变函数理论做出了独立贡献。更为重要的是，他创办了《数学学报》杂志，且他是魏尔斯特拉斯一家和埃尔米特一家的朋友，与世界各地的数学家交换信息，并通过他在瑞典和其他地方的关系网直接支持了众多数学家。因此，他在索菲娅· 科瓦列夫斯卡娅、亨利·庞加莱、格奥尔格·康托尔等形形色色的人的生活中扮演了重要的角色。

分析学的算术化

1872 年是值得铭记的一年，不仅因为在几何学领域，而且更为特别的是在分析学领域。这一年，至少有五位数学家在分析学的算术化上做出了重要贡献，其中一位是法国人，其余四位是德国人。这位法国数学家是勃垦第的（夏尔）梅雷（H.C.R.（Charles）Méray，1835—1911）；四位德国数学家分别是：柏林的卡尔·魏尔斯特拉斯、哈勒的海涅、同样来自哈勒的格奥尔格·康托尔、布伦瑞克的戴德金。某种意义上，这些人代表了 19 世纪后半世纪函数和数的性质研究的巅峰，这一研究始于 1822 年傅里叶的热理论和同年马丁·欧姆（Martin Ohm，1792—1872）将所有分析学简化为算术的尝试，后者出版了《数学体系完全一致性的尝试》。这五十年间数学家焦虑不安，主要出于两方面原因。其一是在无穷级数运算中缺乏自信，甚至并不清楚一个函数的无穷级数，比如幂级数、正弦或余弦级数，是否总会收敛到导出级数的这个函数。受到关注的第二个原因是由处在算术化纲领极为核心地位的“实数”一词没有任何定义而引起的。1817 年，波尔查诺彻底意识到分析需要严格化，以至于克莱因称他为“算术化之父”，但波尔查诺的影响力不及柯西，后者的分析学仍被几何学直觉所限。甚至波尔查诺 1830 年左右提出的连续不可微函数也被后继者忽略，而由魏尔斯特拉斯（在 1861 年的讲义上以及 1872 年提交给柏林科学院的论文中）提出的这样的一个函数的例子，一般被普遍地认为是它的第一个实例。

与此同时，黎曼提出了一个函数 f(x) ，在一个区间中的无穷多点处不连续，然而它的积分存在，并定义了一个连续函数 F(x) ，在上述无穷多点处不可导。从某种意义上说，黎曼函数的病态性还不及波尔查诺和魏尔斯特拉斯的函数，但却清楚地表明，积分需要一个比柯西给出的更周密的定义，柯西的积分定义是曲线下的面积，很大程度上带有几何意味。如今，从上和、下和角度定义区间上的定积分，通常称为黎曼积分，以纪念黎曼给出了有界函数可积的充要条件。比如，狄利克雷函数在任何区间上都不存在黎曼积分。此外，在对函数更弱的条件下所做的积分的更一般的定义，在下一个世纪被提出来，但大部分本科微积分教材中使用的积分定义仍然是黎曼给出的。

波尔查诺和魏尔斯特拉斯的工作之间相差了大约五十年，但在这半个世纪里一致的努力，以及重新发现波尔查诺的工作的必要性，导致了一个冠以两人名字的定理，即波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理：包含无穷多元素（比如点或数）的有界集 S 至少有一个极限点。虽然这个定理由波尔查诺证明，柯西显然也知道，但正是魏尔斯特拉斯的工作使这一定理被数学家们所熟知。拉格朗日表达了他对傅里叶级数的怀疑，而在 1823 年，柯西认为他已经证明了一般的傅里叶级数的收敛性。狄利克雷指出柯西的证明不充分，并给出了级数收敛的充分条件。正是在寻找放宽狄利克雷提出的傅里叶级数收敛条件时，黎曼发展了他的黎曼积分的定义，他表明，在一个区间中不能展开为傅里叶级数的函数 f(x) 可以是可积的。也正是对无穷三角级数的研究，导致了康托尔的集合论，这将在后面提到。

在重要的 1872 年之后仅一年，一位有望在数学和数学史上大有作为的年轻人，不幸在 34 岁就去世了。此人就是赫尔曼·汉克尔（Hermann Hankel，1839—1873），是黎曼的学生，也是莱比锡大学的数学教授。1867 年，他出版了《复数系理论》，书中他指出“建立泛算术的条件是……一种纯智力的数学，脱离开所有感性的数学”。我们已经看到，当高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶摆脱空间的偏见时，几何学革命才得以发生。在某种相同的意义上，正如汉克尔预测的，分析彻底的算术化也只有在数学家们把实数理解为“智力结构”，而不是理解为自欧几里得的几何学继承下来的直觉上给定的量时才可能发生。汉克尔的观点不是新近才提出来的，一代代数学家，特别是在英国，一直在发展一种泛算术和多重代数。然而，对分析学的影响还没有得到广泛认可。在 19 世纪 30 年代早期，波尔查诺就曾尝试发展实数理论，将其当作有理数列的极限，但这些研究直到 1962 年之前都没有被注意到，也没发表。威廉·罗恩·哈密顿爵士可能意识到了一些这样的需要，但他对时间而不是空间的探讨，是对通常的几何背景在语言上的改变，尽管不是逻辑形式上的。前面提到的 1872 年这五位人物首先有效地抓住了问题症结并发表了成果。

梅雷迅速提出他的思想，早在 1869 年就发表了一篇文章，呼吁关注数学家从柯西时代起在推理时就犯下的一个严重错误。本质上说，这里的循环论证包括将数列的极限定义为实数，接着反过来将实数定义为一个（有理数）数列的极限。波尔查诺和柯西试图证明一个数列“收敛于自身”——其中 Sn+p 与 Sn（给定整数 p 和足够大的 n）之差小于任何给定量 ε ，在外部关系的意义下也收敛于实数 S ，即这个数列的极限。梅雷在他 1872 年的《新的精确无穷小分析》中，并未引用收敛的外部条件或实数 S ，就解决了这个棘手问题。他仅仅使用波尔查诺柯西判别法，其中 n，p，ε 为有理数，没有涉及无理数就能描述收敛性。从广义上说，他将收敛序列视作或者确定了一个有理数为极限，或者确定了一个“虚构数”为“虚构极限”。他表明，这些“虚构数”可以排序，本质上，它们就是我们所知道的无理数。梅雷在他的收敛序列是否就是数这个问题上多少有些含糊其辞。如果说是，那么就意味着他的理论和同时期魏尔斯特拉斯发展出的理论是相同的。
魏尔斯特拉斯试图将微积分从几何学中分离出来，并将其仅仅建立在数的概念上。像梅雷一样，他也看到要这么做的话，有必要独立于极限概念给无理数下个定义，因为前者到目前为止仍以后者为前提。为纠正柯西逻辑上的错误，魏尔斯特拉斯通过将数列本身设为数或极限，解决了收敛数列极限的存在性问题。魏尔斯特拉斯的方案太烦琐了，无法在这里细致地呈现，但是以相当简化的形式，我们可以说数 1/3 并非级数 3/10+3/100+3/1000+…+3/10^n+… 的极限，它是与这个级数相关的数列。（实际上，在魏尔斯特拉斯的理论中，无理数被更宽泛地定义为有理数的聚集体，而不是狭义地当作有理数的有序数列，像我们在前面暗指的那样。）

魏尔斯特拉斯没有发表过关于分析学算术化的观点，但这些观点被很多人熟知，如费迪南·林德曼（Ferdinand Lindemann）和爱德华·海涅，他们都听过魏尔斯特拉斯的讲座。1871 年，康托尔发起了第三个算术化计划，和梅雷、魏尔斯特拉斯类似。海涅提出的简化建议，促使了所谓的康托尔-海涅定理的发展，1872 年由海涅在克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》上发表，题目为《函数论原理》。本质上讲，文章中的方案类似于梅雷的观点，不收敛于有理数的收敛数列被用来定义无理数。同年，戴德金在《连续性与无理数》中给出了同一问题完全迥异的方法，也是今日人们所熟知的方法。

译后记

美国著名数学史家卡尔·B.博耶（Carl B. Boyer，1906-1976）所著《数学史》（A History of Mathematics）自 1968 年出版以来，在欧美地区流传较广，受到普遍欢迎，被认为是经典的数学通史著作之一。卡尔·B. 博耶 1976 年不幸去世。1989 年，约翰·威立父子出版公司邀请作者的学生梅尔茨巴赫（Uta C.Merzbach，1933- ）对原作进行了一次修订（1991 年又作了微调），是为修订版或第二版。除了对 19 世纪相关章节的少部分修改以及将原20世纪数学的一章分作两章以外，第二版在内容上可以说改变不大。到 2011 年，梅尔茨巴赫又在第二版基础上重新修订出版了第三版。新版在尽量保持原书风格的同时，在结构上作了适当调整，内容也有较多的增补与删节，特别是，对原关于希腊数学的部分作了较大的缩并，将原合章叙述的中国和印度数学分别独立成章，关于 20 世纪数学的篇幅则扩充了一倍，等等。这些修改，符合自第一版出版 40 余年、第二版出版 20 年以来数学迅猛发展的需要，也在一定程度上反映了数学史研究的新进展与作者的新认识。

根据以上所述，北京大学出版社决定出版《数学史》第三版中译本，是一项很有意义的举措。中文翻译任务艰巨，许多地方需要边研究边翻译，因此本书中译本是团队合作的成果。六位译者各自都有繁重的日常业务，每一位都以高度认真负责的态度投入工作，并表现出很强的协作互助精神。每一章末分别标有该章译者名，封面排名不分先后，笔者向每一位参译者表示衷心感谢。笔者审校了全部译稿，因此书中可能出现的疏漏和错误概由笔者担责。

最后，笔者高度赞赏北京大学出版社在传播数学史和数学文化方面的热情和眼光，特别要感谢本书责任编辑潘丽娜为本译著的顺利出版所做的大量细致耐心的工作。

李文林

2024 年 3 月 29 日于北京中关村

本文载于《数学史》（北京大学出版社，2024年）。“数学大院”经出版社授权编辑发布。

原创 尤塔·默茨巴赫 等 数学大院 2024 年 10 月 23 日 19:30 北京