求实数 x ，使 y=2x+√(9x^2+16) 取到最小值

wintex

請問紅色是為何？

luyuanhong

Ysu2008

函数图像是双曲线上半支，将函数化为二次曲线的一般形式 \(5x^2+4xy-y^2+16=0\)

根据一般二次曲线的切线公式，曲线在切点\(\left( a{,}b\right)\)处的切线为 \(\left( 5a+2b\right)x+\left( 2a-b\right)y+16=0\)

当切线处于水平时，切点的纵坐标即为函数最小值。

令切线斜率为 0 , 即 \(5a+2b=0\) ，代入原方程 \(-\frac{5}{2}a=2a+\sqrt{9a^2+16}\Rightarrow a=\pm\frac{8\sqrt{5}}{15}\)

根据图像，舍去正根，负根代入条件式 \(5a+2b=0\) ，算得切点坐标\(\left( a{,}b\right)=\)\(\left( -\frac{8\sqrt{5}}{15}{,}\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)\)