对称性的守护者：埃米·诺特与最重要的科学定理

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对称性的守护者：埃米·诺特与最重要的科学定理

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 11 月 09 日 18:05 陕西

纵观科学史，有许多无数的无名英雄；埃米·诺特便是这样一位。她改变了我们对宇宙守恒定律的看法。



爱因斯坦本人在《纽约时报》上说过：“在当今最有能力的数学家眼中，诺特小姐是自女性接受高等教育以来最具创造力的数学天才。”要理解爱因斯坦为什么这么说，我们需要回顾几个世纪以来人们对力学和相对论的理解。

爱因斯坦无疑是相对论的代表人物。1905 年，他发表了《论运动物体的电动力学》——狭义相对论的开创性著作。爱因斯坦在这篇论文中证明了两件事：1) 物理定律在所有参考系中都是不变的——也就是说，它们不会因你的视角而改变——2) 光速在参考系中同样是不变的。

这与以正常速度行驶的普通物体有着至关重要的区别，如果你沿着与物体运动方向相同或相反的方向移动，物体的速度可能会更快或更慢。光速始终为每秒300,000,000 米：无论从哪个角度看，c 都是 c 。

狭义相对论是伽利略在 17 世纪工作的延续；爱因斯坦将伽利略相对论发挥到了极致——超出了人们认为的合理或逻辑的范围——并且它确实奏效了。

但狭义相对论虽然有效，但也有些奇怪，导致一系列奇特且违反直觉的后果：同时性可能是相对的，长度和质量在接近光速时会发生变化，时间本身在高速下也会膨胀。

这些结论很奇怪，但并非不合理。更紧迫的事实是狭义相对论是不完整的：它没有考虑加速度。狭义相对论只涉及平坦空间和恒定速度。但爱因斯坦最快乐的想法是，当他想到一个自由落体的人——恒定加速度——不会感觉到自己的重量时。加速度和重力是一样的，永远如此。这在后来发展成为所谓的等效原理。



在接下来的几年里，爱因斯坦围绕等效原理发展了他的引力理论：广义相对论。这一理论取代了几个世纪以来主导我们对最弱力理解的牛顿引力。宇宙不再是绝对静止和平坦的；它可以因质量而扭曲和弯曲。

根据爱因斯坦的等效原理，光应该会因重力而弯曲（用物理学术语来说就是加速），因为它和其他所有东西一样具有惯性。爱因斯坦将空间和时间视为一个四维物体——时空——它本身也可以因重力而弯曲，以此来建立模型。我们可以把它想象成一张地形图：光就像徒步旅行者一样，不想走进山谷，否则就必须再爬出来，所以它可能会弯曲以留在平坦的空间中。



这是由于最小作用量原理：宇宙中的事物都想尽可能少地付出努力。如果你要从城镇的一处走到另一处，你会选择两地之间最直接的路径；宇宙中的一切都想这样做。光不会做比它需要的更多的工作。

“作用”这个概念在物理学中有一个特定的定义，我们可以通过拉格朗日量来理解：

    L ≡ T - V 。

T 是系统的动能，V 是系统的势能。因此，拉格朗日量是某物正在使用的能量与它可以使用的能量之间的差值，因此，它告诉我们系统固有的动态。将该值随时间积分可告诉我们系统的作用。最小作用原理指出，作用的变化总是尽可能小。

这时艾米·诺特（Emmy Noether）登场了。诺特曾在埃尔朗根大学学习数学，当时女性只有在得到导师的允许的情况下才能旁听课程。她对代数不变性非常着迷，并最终将这种理解应用于作用物理学。



从 1903 年开始，她进入哥廷根大学学习，在那里她旁听了数学家大卫·希尔伯特和赫尔曼·闵可夫斯基的课程，这两位数学家都对爱因斯坦的相对论产生了巨大影响，以及天文学家卡尔·史瓦西的课程，史瓦西后来成为第一个给出广义相对论精确解的人。

种下的种子需要十多年才能发芽。与此同时，诺特回到了埃尔朗根，获得了正式的学生身份，并于 1907 年完成了关于不变量的博士学位。不变量是她的专长，而哥廷根需要这个专长。因此，1915 年，33 岁的埃米·诺特被当时世界上最优秀的数学家邀请回到哥廷根大学。他们需要帮助解决广义相对论的最大挑战：能量守恒。

能量（如动量、角动量、电荷等）在我们的宇宙中应该是普遍守恒的；它们不会被创造或毁灭——只是四处移动。相对论扭曲了我们对此的理解。

在广义相对论中，时空是弯曲的，因此我们需要建立两个不同的坐标系：局部坐标系和全局坐标系。局部坐标系就像我们在地球上用双脚站立时所经历的一样，而全局坐标系就像国际空间站上的宇航员在地球上俯瞰的景象。

在广义相对论中，引力本身可以对系统的能量产生贡献，因此无法普遍地说明系统的总能量；局部和整体观点可能不一致。因此，引力能量似乎并不在传统意义上守恒。这正是埃米·诺特想要理解的，但她被邀请到哥廷根大学并非毫无争议。哥廷根大学哲学系的教职员工反对诺特的邀请，理由是她是女性。研究广义相对论的数学家大卫·希尔伯特支持诺特，他冲着四方院哲学系大喊：这是一所大学，不是澡堂。

尽管受到如此对待，诺特还是开始工作。在哥廷根大学的最初几年里，她没有得到教学职位，也没有得到报酬。但希尔伯特等人欣赏她的才华，并克服了当时的偏见，支持她。例如，由于诺特不被允许授课，希尔伯特会宣传课程由他自己授课，诺特担任助教，但随后他又把授课权交给了诺特。



诺特的主要研究重点是代数不变性和相对论。为了保持广义相对论中的能量守恒，诺特将注意力转向对称性及其与作用量的关系。这与我们看到湖面倒影或蝴蝶翅膀时所习惯的对称不同，这是物理对称。物理学中的对称意味着我们可以在不改变定律的情况下改变系统：系统的一个特征在整个转换过程中得以保留。

实际上，我们已经讨论过对称性的一个例子：光速在所有参考系中都是相同的。无论你如何看待它——无论你如何变换系统—— c 始终是 c 。由于这种对称性，光速是不变的。在这些对称变换中，作用同样是不变的，诺特将注意力转向对称时间平移，以更好地理解能量守恒。但时间平移对称意味着什么呢？



以国际象棋为例：国际象棋的规则今天和 100 年前是一样的，或者 100 年后也是一样的。也就是说，国际象棋的规则与时间无关。物理定律也是如此：无论我们何时进行实验，实验结果都是相同的。

在极端情况下（比如宇宙诞生之初），这种假设会失效，但总体上是正确的。如果你今天做一个实验，结果和你在 1924 年做的实验是一样的，或者你在 2124 年再做一次实验，结果是一样的。所以，如果你把飞盘扔到空旷的空间里，飞盘在运动中的属性将保持不变；飞盘的任何特性都不会随着时间的推移而改变。具体来说，飞盘在运动中的能量是时不变的。因此，作为时间平移对称性的直接结果，能量是守恒的。

那么，诺特在广义相对论中解决了能量守恒问题，对吗？别急。诺特表明，局部时间平移对称性导致能量守恒，但这种守恒仅适用于局部。全局能量守恒需要全局时间平移对称性，而这在弯曲时空中并不存在。全局时间对称性在广义相对论中不存在，因为弯曲时空是动态的——它可以改变——因此能量守恒的适用方式与在平坦、静态时空中不同。

诺特关于时间对称性的研究为广义相对论中能量守恒的传统理解设定了限制：能量并不像我们曾经认为的那样守恒。毫不奇怪，与爱因斯坦相对论相关的一切一样，这一结论既离奇又违反直觉。但这并不意味着诺特的研究毫无价值。相反，诺特对不变量和对称性的研究远远超出了时间平移对称性中的能量守恒；她的定理是普遍的。

诺特发现，每一种对称性都有相应的守恒定律。正如时间平移对称性导致能量守恒一样，空间和旋转平移对称性分别导致动量和角动量守恒。让我们考虑在空旷的平坦空间中扔飞盘的例子。在这个空旷的宇宙中，无论我们把飞盘扔到哪里，它都会以相同的方式保持运动。这是一种空间平移对称性，这意味着飞盘的位置变化时，飞盘的任何部分都不会改变；无论飞盘在哪里，它的动量都相同。系统平移，但动量不变；它是守恒的。

同样的思想也适用于旋转变换。如果你手里拿着飞盘，你可以以任何你喜欢的方式旋转它，而飞盘不会发生任何变化。在这种对称变换下，系统的性质和物理定律是不变的。因此，当飞盘在空间中旋转时，它的角动量同样是守恒的。

这只是三种对称性及其相应的守恒定律；然而，诺特定理指出，每一种对称性都有一条守恒定律——反之亦然。也就是说，诺特定理适用于任何地方和任何时间，无论是宇宙中最小的尺度还是最大的尺度。



例如，电磁学的规范对称性涉及波函数相位的变化而不改变电荷。由此，电荷守恒。这些对称性和守恒定律充当了量子场论的支架——这对我们理解最小尺度的物理学至关重要。除此之外，甚至可能还有方法利用诺特定理将超对称和弦理论联系起来。

她在 1918 年的论文《不变变分问题》中提出了这个普遍定理——每个对称性都有一个守恒定律，反之亦然——只不过不是她自己提出的，而是一位名叫费利克斯·克莱因的数学家提出的。尽管她在 20 世纪初对数学领域产生了影响，但她仍然面临着该领域巨大的厌女情绪。克莱因代表她向皇家科学院提交了她的论文，因为她不被允许加入该学会。

诺特的故事极具讽刺意味：她研究数学对称性，但她的学术生涯却极不对称。由于当时制度上存在着严重的不对称，诺特在整个职业生涯中都面临着强烈的厌女症和反犹太主义——由于学术界有关女性的规则发生变化，她需要不断调整自己的追求。



只有在个人层面上，诺特才找到了对称性和尊重。戴维·希尔伯特、费利克斯·克莱因、阿尔伯特·爱因斯坦等许多人都支持诺特，并渴望在诺特的整个职业生涯中与她合作。这种合作产生了最美丽的物理定理和理论。诺特最初打算在广义相对论中保留能量守恒，但最终她发现了物理学史上最重要、最普遍的定理之一。

当爱因斯坦读到诺特的论文时，他告诉希尔伯特：“昨天我从诺特小姐那里收到了一篇关于不变量的非常有趣的论文。我很惊讶这些事情竟然可以用如此普遍的方式去理解。哥廷根的那些老前辈应该向诺特小姐学习！她似乎很了解自己的东西。”

正如莱德曼和希尔在他们的著作《对称与美丽的宇宙》中所描述的那样，诺特定理“无疑是迄今为止证明的、指导现代物理学发展的最重要的数学定理之一，可能与毕达哥拉斯定理齐名”。

但与毕达哥拉斯、牛顿和爱因斯坦不同，埃米·诺特在科学史上并没有应有的影响力。诺特定理是连接广义相对论和量子力学的唯一共同点；它适用于整个宇宙——从夸克和电子到黑洞和宇宙网。如果宇宙表现出对称性，那么就总有一条相应的守恒定律：这是对受爱因斯坦奇妙而奇怪的相对论主导的宇宙的平衡解药。



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