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已知正整数乘积 pq ,求满足 mn≤pq 的不同的正整数对 (m,n) 的数量

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发表于 2025-1-3 18:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
求助,怎样求出一组数据有多少个?
p,q是正整数,其乘积是pq(pq有时可以相等)。怎样求出所有符合不大于pq,且不重复数值的个数。
发表于 2025-1-11 17:25 | 显示全部楼层
我每个字认识,
连一起就不懂意思了.
你举例说明吧?
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 楼主| 发表于 2025-1-13 22:52 | 显示全部楼层
drc2000再来 发表于 2025-1-11 17:25
我每个字认识,
连一起就不懂意思了.
你举例说明吧?

感谢您对这个问题有兴趣。由于我的表达能力有限让你理解困难,十分抱歉!

问题是这样的:p,q分别是正整数,可以相同,也可不同(下面就p,q相同的情况阐述一二)。

当p=1,q=1时,p和q的乘积等于1,即pq=1。此时符合条件且相乘不大于1的情况只有1*1=1。

当p=2,q=2时,pq=4。此时符合条件不大于4的有1*1=1,1*2=2(或2*1=2),1*3=3(3*1=3),1*4=4(4*1=4),2*2=4这4种情况,等于4的两种情况算一种。
当p=3,q=3时,pq=9。此时符合条件乘积不大于9的有:1*1=1,1*2=2(或2*1=2),1*3=3(3*1=3以后只说一种),1*4=4,1*5=5,1*6=6,1*7=7,1*8=8,1*9=9,还有2*2=4,2*3=6,2*4=8,3*3=9。这11种情况(这里1*4=4与2*2=4及1*9=9与3*3=9只分别记下一种)。等等还可以继续列举。

也就是说,我们求一下不大于pq的乘积有多少个,也就是最后这种情况下的11。也就是求一下其通式,或者说是关系式。

当然了,你可以这样做更简单明了:
做出直角坐标系,在第一象限中,每个单位点上向上向右做出网格图,您分析会更方便些。

多联系,多多谢!
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发表于 2025-1-14 07:56 | 显示全部楼层
是这串数吗?
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 20, 22, 24, 25, 28, 29, 32, 34, 36, 37, 42, 43, 45, 47, 50, 51, 56, 57, 60, 62, 64, 66, 71, 72,
a(1)=1={1,1},
a(2)=2={1,1},{1,2},
a(3)=3={1,1},{1,2},{1,3},
a(4)=4={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},
a(5)=5={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},
a(6)=7={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},
a(7)=8={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},
a(8)=10={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},
a(9)=11={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},
a(10)=13={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},
a(11)=14={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},
a(12)=17={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},
a(13)=18={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},
a(14)=20={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},
a(15)=22={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},
a(16)=24={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},
a(17)=25={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},
a(18)=28={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},{1,18},{2,9},{3,6},
a(19)=29={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},{1,18},{2,9},{3,6},{1,19},
a(20)=32,
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发表于 2025-1-14 16:14 | 显示全部楼层
A211264——整数对数{x, y},  使得 0 < x < y ≤ n 和 x*y ≤ n。

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 27, 28, 31, 33, 35, 36, 40, 41, 43, 45, 48, 49, 53, 54, 57, 59, 61, 63, 67, 68, 70, 72, 76, 77, 81, 82, 85, 88, 90, 91, 96, 97, 100, 102, 105, 106, 110, 112, 116, 118, 120, 121,

a(1)=0
a(2)=1={1,2},
a(3)=2={1,2},{1,3},
a(4)=3={1,2},{1,3},{1,4},
a(5)=4={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},
a(6)=6={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},
a(7)=7={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},
a(8)=9={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},
a(9)=10={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},
a(10)=12={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},
a(11)=13={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},
a(12)=16={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},
a(13)=17={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},
a(14)=19={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},
a(15)=21={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},
a(16)=23={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},
a(17)=24={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},
a(18)=27={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},{1,18},{2,9},{3,6},
a(19)=28={1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9},{1,10},{2,5},{1,11},{1,12},{2,6},{3,4},{1,13},{1,14},{2,7},{1,15},{3,5},{1,16},{2,8},{1,17},{1,18},{2,9},{3,6},{1,19},
a(20)=31,
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 楼主| 发表于 2025-1-15 06:28 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2025-1-14 16:14
A211264——整数对数{x, y},  使得 0 < x < y ≤ n 和 x*y ≤ n。

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, ...

我认为应该有a(1)这项,另外剔除结果相同项。例如a(6)=7={1,6}{2,3}项。

通过这些求出关系式。

点评

只要先计算出前面若干项,OEIS都会有。OEIS有很多相近的数字串。  发表于 2025-1-15 16:56
你先说说a(9)=11={1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{1,7},{1,8},{2,4},{1,9}——对不对?  发表于 2025-1-15 07:21
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 楼主| 发表于 2025-1-15 20:19 | 显示全部楼层
{2,3}{2,4}是重复的,其他的都对。


这样吧,您将p换成2p+1,将q换成2q+1是不是更明显?以后就研究这种情况,会有什么情况?
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发表于 2025-1-17 07:57 | 显示全部楼层
奇数对数{x, y},  使得 0 < x < y ≤ 2 n + 1 和 x*y ≤2 n + 1。

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 44, 46,

a(0)=0
a(1)=1={1,3},
a(2)=2={1,3},{1,5},
a(3)=3={1,3},{1,5},{1,7},
a(4)=4={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},
a(5)=5={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},
a(6)=6={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},
a(7)=8={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},
a(8)=9={1,3},{1,5},{1,7},{1,6},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},
a(9)=10={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},
a(10)=12={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},
a(11)=13={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},
a(12)=14={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},
a(13)=16={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},{1,27},{3,9},
a(14)=17={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},{1,27},{3,9},{1,29},
a(15)=18={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},{1,27},{3,9},{1,29},{1,31},
a(16)=20={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},{1,27},{3,9},{1,29},{1,31},{1,33},{3,11},
a(17)=22={1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,5},{1,17},{1,19},{1,21},{3,7},{1,23},{1,25},{1,27},{3,9},{1,29},{1,31},{1,33},{3,11},{1,35},{5,7},
a(18)=23,
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 楼主| 发表于 2025-1-17 13:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2025-1-17 07:57
奇数对数{x, y},  使得 0 < x < y ≤ 2 n + 1 和 x*y ≤2 n + 1。

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12,  ...

谢谢!,现在我在外地。回去了认真回您
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