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ΔDEF 中,DE=3,DF=4,EF=5,ΔABC 是内接 ΔDEF 的正三角形,求 ΔABC 面积的最小值

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发表于 2025-1-12 22:01 | 显示全部楼层 |阅读模式


请教各位思路

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发表于 2025-1-13 12:55 | 显示全部楼层
如图,小写字母为数轴刻度,有:
aa+cc=(d-c)^2+bb
aa+cc=(b-a)^2+dd ...(0)
(3-d)/b=3/4
d/(4-b)=3/4 [其实,和上式同一]
化简后:
aa+2cd=dd+bb ...(1)
2ab+cc=bb+dd ...(2)
b=4-4d/3 ...(3)
消去b,c,最后由(2)得到:
2a(4-4d/3)+((dd-aa+(4-4d/3)^2)/2/d)^2=(4-4d/3)^2+dd
a有4解:
(72-(24-18*I)*d)/18
(12-(4+3*I)*d)/3
(-12+4*d-3*Sqrt[3]*d)/3
(-12+4*d+3*Sqrt[3]*d)/3
开头两个有I,舍去,第三个为负值也舍去[注意,a,b,c,d都是正数],则:
a=(-12+4*d+3*Sqrt[3]*d)/3 ...(4)
由(0)知,正三角形边x的平方=:
(b-a)^2+dd
(3),(4)代入后成为:
64-(128*d)/3-16*Sqrt[3]*d+(100*d^2)/9+(16*d^2)/Sqrt[3]
观察其图象知其最小值约=3.145,则x约=√3.145=1.77

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发表于 2025-1-13 15:32 | 显示全部楼层
提示:1,大直角三角形的两锐角的正弦易算出,
2,设等边三角形的边为x,小直角三角形的一锐角为θ,可算出相应直角边,进而算出余下的线段,
3,对另两三角形用正弦定理,其边a+b=5,由此可建立x=f(θ)的函数(求最值应该不难),
4, S=√3x∧2/4。
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发表于 2025-1-13 16:46 | 显示全部楼层
一元二次方程的极值公式我多年了很少用,也没查,这已经不是关键部分了。
我求了x的最小值,最大值如何求呢?
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发表于 2025-1-13 16:52 | 显示全部楼层
通过两个三角形的面积比就可以极大极小值都可以求了。这是个思路。
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发表于 2025-1-14 15:42 | 显示全部楼层




(0)、如图,设DA=a,DB=b;

(1)、用线段AB的中垂线交EF于C,再由 |AC|=|AB|的约束关系可得到一个高次方程;

(2)、将高次方程输入计算机,可解得 a、b的线性关系 \(b=\frac{7\sqrt{3}-24}{11}a+\frac{72\sqrt{3}-96}{11}\)

(3)、求正三角形的最小边长 \(\min\left\{ \sqrt{a^2+b^2}\right\}=\min\left\{ \sqrt{a^2+\left( \frac{7\sqrt{3}-24}{11}a+\frac{72\sqrt{3}-96}{11}\right)^2}\right\}\)
上式在\(a=\frac{6}{193}\left( 64\sqrt{3}-69\right)\)时取得最小值 \(\min=12\sqrt{\frac{25-12\sqrt{3}}{193}}=1.773460369......\)

(4)、所以正三角形最小面积为 \(\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\left( 12\sqrt{\frac{25-12\sqrt{3}}{193}}\right)^2=\frac{36}{193}\left( 25\sqrt{3}-36\right)=1.361894957575......\)

a、b的线性关系是否可用比较巧妙的办法得到?

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发表于 2025-1-14 20:44 | 显示全部楼层


求面积最大值。

已知正三角形边长\(=\sqrt{a^2+\left( \frac{7\sqrt{3}-24}{11}a+\frac{72\sqrt{3}-96}{11}\right)^2}\)

根式内是向上开口的抛物线,最大值就在\(a\)的取值区间的两端;

左端点,\(a=0\),正三角形边长为 \(\frac{72\sqrt{3}-96}{11}=2.609787104087......\)
右端点,\(b=0\),  正三角形边长为 \(\frac{8}{13}\left( 4\sqrt{3}-3\right)=2.4173558340......\)

所以,正三角形面积最大值为 \(\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\left( \frac{72\sqrt{3}-96}{11}\right)^2=\frac{144}{121}\left( 43\sqrt{3}-72\right)=2.9492446319544......\)

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发表于 2025-1-15 07:55 | 显示全部楼层
4个算式是等价的。

Minimize[{((a^2 + b^2) Sin[\[Pi]/3])/2, a^2 + b^2 == c^2 + (3 - a)^2 - 2 c (3 - a) * 3/5 == (4 - b)^2 + (5 - c)^2 - 2 (4 - b) (5 - c) * 4/5}, {a, b, c}]

Minimize[{((a^2 + b^2) Sqrt[3])/4, a^2 + b^2 == c^2 + (3 - a)^2 - (6 c (3 - a))/5 == (4 - b)^2 + (5 - c)^2 - (8 (4 - b) (5 - c))/5}, {a, b, c}]

Minimize[{((a^2 + b^2) Sqrt[3])/4, c^2 == b^2 + 6 a - 9 + (6 c (3 - a))/5 == a^2 + 8 b + 10 c - 41 + (8 (4 - b) (5 - c))/5}, {a, b, c}]

Minimize[{((a^2 + b^2) Sqrt[3])/4, 5 c^2 - 18 c + 45 == 5 b^2 - 6 a c + 30 a == 5 a^2 + 8 b c}, {a, b,c}]

{36/193 (-36 + 25 Sqrt[3]), {a -> 6/193 (-8 + 27 Sqrt[3]), b -> 6/193 (-69 + 64 Sqrt[3]), c -> 15/193 (3 + 14 Sqrt[3])}}
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发表于 2025-1-15 19:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ysu2008 于 2025-1-15 19:44 编辑



如图,向量\(\overrightarrow{DA}=a\ {,}\ \overrightarrow{DB}=ib\),则 \(\overrightarrow{BA}=a-ib\)
将向量\(\overrightarrow{BA}\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)得到 \(\overrightarrow{BC}\),即
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\times\left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\left( a-ib\right)\left( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+i\frac{a\sqrt{3}-b}{2}\)

\(\because\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}=ib+\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+i\frac{a\sqrt{3}-b}{2}=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+i\frac{a\sqrt{3}+b}{2}\)

向量\(\overrightarrow{DC}\)的实部和虚部必须满足直线EF的方程\(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\),从而得到\(a{,}b\)的线性关系:
\(\frac{a+\sqrt{3}b}{8}+\frac{a\sqrt{3}+b}{6}=1\)
\(\Rightarrow b=\frac{7\sqrt{3}-24}{11}a+\frac{72\sqrt{3}-96}{11}\)

============接6#===============


============接7#===============

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发表于 2025-1-18 05:56 | 显示全部楼层
记小直角三角形一角 = a,   记大直角三角形一角 = b,   正三角形边长 = k,

(3 - k Sin[a])/Sin[Pi/3 - a + b] = k/Cos[b], Sin[b] = 3/5, ΔABC 面积 = k^2 Sin[Pi/3]/2。

化简可得。ΔABC 面积 = 144 Sqrt[3]/((3 + 4 Sqrt[3]) Cos[a] + (4 + 3 Sqrt[3]) Sin[a])^2

ΔABC 面积最小 = 36/193 (-36 + 25 Sqrt[3])

ΔABC 面积最大 = 144/121 (-72 + 43 Sqrt[3])
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