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数学学习之思

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发表于 2025-1-16 00:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
数学学习之思

原创 廖海仁 概率论沉思录 2024 年 10 月 18 日 18:06 江西

为什么谈论“学习”而不是“教育”?

首先说明我在这里为什么主要谈论数学“学习”而非“教育”?现代社会如果说有一个什么话题能够激起几乎所有人的兴趣的话,那大概非“教育”莫属,即使是现在火爆的“人工智能”恐怕也无法与“教育”相比。对于教育,特别是现在的中小学以及大学教育的种种不足和弊端,我们很多人应该都可以慷慨陈词一番。我研究生毕业后也曾有过教育立业的梦想,南极回来后还做过几个月的尝试,但是后来一直走的是专业与专家之路。主要是觉得现代社会的教育问题恐怕不是靠出几个卓越的教育家所能解决的,也并非只要完善了学校教育体制就可以解决问题。我甚至觉得解决教育问题的关键在于学生自身(特别是到了大学之后)。只有当学生意识到学校教育不可能完美无缺,意识到教育体制的种种缺陷后,通过自己的选择和努力来弥补其不足,才能避免成为教育的牺牲品。

古人重“学”而不是“教”,虽然孔子被公认为是伟大的教育家,但是他其实首先是一位伟大的学者,他说自己“学而不厌,诲人不倦”,《论语》首章是“学而时习之,不亦说乎”,先谈学而不是教。《礼记》有《学记》篇,开始一段是“发虑宪,求善良,足以謏闻,不足以动众;就贤体远,足以动众,未足以化民。君子如欲化民成俗,其必由学乎!” 这段话在现在,最后那个“学”字肯定会被改为“教(育)”。

对于每一位学生来说,学校及父母的现状甚至都可以说是环境的一部分,不是可以轻易改变的。谈学是反求诸己,而不停地谈论“教育”,特别是愤世嫉俗地谈论则是求诸人。一名学生不停抱怨教育,等于说“我之所以学习不好,是你老师不好、学校不好,甚至家长不好”,这其实不是反求诸己的态度。我们能碰到好的老师应该感到庆幸;碰到一般的老师应该感到正常;碰到不好的老师也不必生气,因为这是我们人生所必须经历的“逆境”的一部分,尽量不受其影响即可。我们学习并不是为了老师,不是为了家长,而是为了我们自己的成长。

我在后面的文章中可能也会讨论当今“教育”的不足与缺陷,但都是基于以上认识上来说的:认识到其不足,通过个人的选择与努力以弥补其不足,按照理想的学习教育理念成为更好的自我学习与教育者。

关于数学学习的一些观念

首先是关于数学天赋。现在经常听到的说法的是“在天赋面前,努力不值一提”,“天赋大于努力”。这些说法似乎深得人心,尤其是对于数学是如此。我却认为对于个人而言可以忘记“天赋”一词。我们不可否认人与人之间天生的数感差异,但是这只是一种天生的优势和潜力,如果没有后天持续的学习和努力,这种所谓的“天赋”将永远不会开花结果。过于强调天赋往往会给自己的不努力提供借口。

其实,关于这个问题,孔老夫子的话很值得我们思考。他曾说,“十室之邑,必有忠信如丘者焉,不如丘之好学也”,又说“唯上知与下愚不移”。数学天才和数学极不开窍的人当然都是存在的,但是却与我们普通人无关。而且,能得菲尔茨奖需要的数学天赋跟我们普通人学习与应用数学所需要的数学天赋也不相同。

至少在高考和基础应用这个层次,谈论天赋都没有太大意义。高考数学压轴题的正确率一般也会是 1% 以上。我们肯定不会将百里挑一的人就认为是天才。普通的科技应用中使用的数学最重要的还是微积分、线性代数和概率论这些大学数学基础课程,一般人都是可以通过努力学懂学通的。我们普通人还是要相信“人一能之,己百之;人十能之,己千之。果能此道矣,虽愚必明,虽柔必强”的《中庸》基本精神。

一个可以给我们借鉴的例子是跟“学好数理化,走遍天下都不怕”这句名言有关的钱伟长先生。他高考国文和历史满分、数学 15 分、物理 5 分、化学 5 分。在现在看来钱先生肯定是要归为数学上的“下愚”之列了。可是人家却偏偏要走科学救国之路,转学物理学。他自诩全校最勤奋之人,每天 5 点去图书馆背书,没想到这时候华罗庚先生已经背完了。结果我们也看到了,老先生最终成为了一名卓有成就的物理学家。 可见,数学考 15 分也未必说明没有数学天赋。老是认为自己天赋或智商不如人很可能是画地为牢。

相比于天赋,我认为更为重要的,是持久的兴趣与学习。培养兴趣最有效的当然是来自良师的引导和感染。但是现代信息社会,即使没有碰到良师,也可以通过阅读自己培养兴趣。现在有很多好的数学科普与数学家传记书籍都有助于培养数学兴趣。比如哈代的《一位数学家的自白》,保罗·哈尔莫斯的《我要做数学家》等等。

有了兴趣,更重要的还是踏踏实实花时间努力学习。“为人不易,为学实难”,民国时期新儒家熊十力先生经常对学生做这样的感慨。我们很多人都可能认为现代社会学习比原来容易了,其实未必。现代社会的学习往往添加了很多功利的因素,高考之前的学习为了考好大学,大学学习为了更高的绩点,工作之后学习为了更高的工资。在互联网社会,我们获取经典书籍的难度低了许多,但是诸多信息的干扰和生活的压力让沉下心来读书更为不易。

需要注意的是,即使是有兴趣,学习总体上还是一件辛苦的事情。“快乐学习”的提法虽然也没有太大问题,但是不能过于强调。读书与做题肯定没有躺在沙发上刷短视频“快乐”,但是学习的快乐是一种更深层次的不后悔的健康的快乐,虽然学习过程中甚至有不舒服的成分(跟运动健身有些类似)。

要有持续学习的动力,有着良好的学习动机很重要。学习动机以学问本身的兴致为上,以学以致用为中,以将学习作为功利性工具为下。有了兴趣和正确的学习动机,每天花一定时间定时学习进步,则可以体会到“学而时习之,不亦说乎”的境界。

数学学习之特点

我体会到的数学学习有以下几个特点。

一是数学学习没有捷径,也不可能速成。比如我在知乎里就看到这样的帖子“如何在 1~3 天内自学概率论”。这也代表了国内典型的浮躁之气。我的回答是:“1~3 天自学概率论只能将书当小说一样翻一遍,知道些名词术语,但是真要说懂什么,简直就是痴人说梦”。数学的进步是缓慢的,无论是数学分析、线性代数还是概率论,发展到现在的程度,花费了很多人数百年的努力才构建起来,凭什么你只需要一年半载就可以完全掌握呢?数学书也没法像读小说一样一个小时一二十页。经典的书,很多时候一个小时能看完并很好理解一页就已经很不错了。半年学通 Python 是没问题的,但是一个人要是说他半年就可以从零基础完全掌握数学分析或者概率论,我却不相信。正因为数学没法速成,所以一个人经过长期积累的数学基础才可以成为其硬资产。

二是学习数学需要循序渐进。这可能是数学跟人文学科的主要区别之一。传统文化读四书五经,虽然也有建议的阅读顺序,但是没有人说一定只能先读《论语》才能读《孟子》。但是数学却不太相同:很多课程都有先修课程,如果先修课程没有掌握,其实很难掌握后续课程。比如概率论在计算随机变量函数的分布需要用到多重微积分的内容,讨论多元正态分布需要用到矩阵符号,所以微积分和线性代数是概率论的先修课程。这些都是需要循序渐进学习的。坊间有言“实变函数学十遍,随机过程随机过”。如果有人真的感觉学习实变函数、随机过程特别难,很可能是这些课程的先修课程微积分、高等代数和概率论没有学好。

三是在数学学习的过程中,做题有着不可替代的作用。 关于做题,前面对于陈希孺先生的引用已经说的很清楚了。不做题是谈不上学习数学的。自学数学的话尽量要选择有习题答案的教材。尽管习题当然要先做再对答案,但若完全没有答案,可能很难验证自己的学习成果。

经典名著与“深度学习”之重要性

很遗憾的是,在当今的国内大学教学中,普遍使用的是学校老师自编的教材或者挺多国内一些相对优秀的教材。这些教材质量参差不齐,但是通常与国际上的数学名著和顶级教材相比,还存在一定的差距(当然这其中也有例外,比如陈希孺先生的数理统计学教材,实际上是已经达到了国际顶级的水准)。 能轻易得到世界一流的经典名著,包括其中文版,这是我们这个时代的学习者最重要的优势之一。对于以上教育缺陷有认识的学生应该尽量自己研读世界级的名著,而不要在二流教材上浪费太多精力,这与是否尊师重教或是否爱国无关。

还有一种比较普遍的情况是,很多学生在毕业后没几年似乎就将大学所有基础课程的内容差不多都忘记了,用大家的话说,是都还给学校和老师。 为什么学过后会很快忘记呢?我的总结是没有进行“深度学习”,都是为人之学(为考试而学),而没有经历为己之学的过程。 这里说的“深度学习”可不是机器学习中的“深度学习”,而是人的“深度学习”。现在计算机都已经实现深度学习了,但是我们人的学习却似乎经常还停留在浅层。我有一个观点,就是所有对于基于数学的科学技术相关任一专业有所追求者,都值得将大学层次的数学基础课(微积分、线性代数、概率论等)自己研读再学习一遍(除了那些本身就在顶级大学数学系,整日沉浸在数学之中,且已经学得很深很好的人外),并且建议学习到数学系的难度。

有人可能会问:我大学相应课程考试都考了 90 分以上,还需要再学习一遍吗?我的回答是需要。一是大学课程学习基本是以考试为目的,时间也比较仓促,考试级别的考分高低跟自己是否真正理解其实不太相关。二来大学所用的教材一般是学校老师自编的教材,跟国际上的数学名著和最好的教材一般还是很差距的。

需要学到数学系的难度一是由于这几门课最为基础,对于后续专业的发展很重要。若学得太浅,相当于盖楼地基打得不深,将来只能盖小洋楼,而不能盖高楼大厦。二是由于这几门课程其实也没有那么抽象,一般人是可以按照数学系的要求来学习掌握的。

但即使是世界名著,每门基础课程甚至都可能找到很多本教材。那么该如何选择,选多少本阅读呢?我的观点是可以先选择内容组织方式差别较大,能形成一定互补作用的两本。一本作为主要教材,另一本作为参考书。这样的好处一是多维度理解:不同作者对于同一数学概念或原理的阐述可能会有所不同。这种差异能够帮助我们从多个角度、多个维度来学习数学知识,从而加深理解。还有就是补充成全:两本书的内容组织方式差别较大,意味着它们可能在某些方面各有侧重。一本可能更注重理论推导,而另一本可能更注重实际应用或习题解答。这样的组合能够为学生提供更全面的学习体验,确保学习的深度和广度。一门课程有了两本经典教材作为基础,再看其他教材就会比较快,因为只看前面两本没有涉及的部分就够了。如果是比研读教材更低级别的教材,的确也是可以像看小说一样快速看完的,甚至是已经不值得看了。

重视基础,有恒学习

数学在现代社会的重要性不言而喻,因为数学是所有自然科学、社会科学甚至工程技术的基础与工具。数学的重要性还体现在它对于人类思维的锻炼上。数学的学习过程,实际上是一个不断锻炼逻辑思维、提高抽象能力和解决问题能力的过程。

人工智能时代,我们面临的一大问题是学校教育应该教什么,学生应该学什么?因为学生在学生时代学习的知识和技能,在他开始找工作时可能已经被人工智能代替了。我对这一问题的看法是:如果不知道学习什么的话,那么就多花时间学基础课程:数学和人文。我大学时学习的 Fortran 语言,十年前学习的 Perl 、Pig 语言,现在都很少使用了,但是之前学习的微积分和线性代数却仍然在使用。“唯数学不会辜负人”,我们需要有这种信念。

学习贵在有恒,如果能每天抽出一个小时学习数学,并且每天做1道习题,长久坚持下来,必有收获。心中常有几道数学题可以思考,也是一件很幸福的事情:无论坐地铁还是坐车都可以用来思考,而不用一有空就抱着手机看了。

最后,我想用一本书籍的推荐为本文的结束:这就是《学记》。这是一篇不长的古代论述学习与教育理论的经典文章,原来没有完整读过的读者强烈推荐研读一下,一定会有所收获。其中第一本由高时良先生进行译注,包含思想考释、章句训义、历史评估等三大部分,更值得推荐些。第二本是由傅任敢先生翻译并做了简要释义。

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