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P,M 是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上两点,OM 平行于过 P 点的椭圆切线,求 ΔOPM 面积

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发表于 2025-1-17 10:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2025-1-22 07:16 编辑





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发表于 2025-1-17 17:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ysu2008 于 2025-1-17 17:59 编辑

设P点坐标为\(\left( x_0{,}y_0\right)\),则过P点的椭圆切线方程为 \(\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1\Leftrightarrow y=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}x+\frac{b^2}{y_0}\)
所以过原点O且与切线平行的直线方程为 \(y=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}x\)
与椭圆方程联立求点M坐标
\(\begin{cases}
y=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}x\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}\Rightarrow M\begin{cases}
x=\pm\frac{a}{b}y_0\\
y=\mp\frac{b}{a}x_0
\end{cases}\)

所以\(\triangle OPM\)的面积 \(\left| S\right|=\left| \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_0&y_0&1\\
-\frac{a}{b}y_0&\frac{b}{a}x_0&1\\
0&0&1
\end{vmatrix}\right|=\frac{1}{2}\left( \frac{b}{a}x_0^2+\frac{a}{b}y_0^2\right)=\frac{b^2x_0^2+a^2y_0^2}{2ab}=\frac{a^2b^2}{2ab}=\frac{ab}{2}\)

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謝謝Ysu2008老師  发表于 2025-1-22 07:15
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发表于 2025-1-17 18:53 | 显示全部楼层
楼上 Ysu2008 的解答很好!已收藏。下面是我的另一种解法:





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謝謝陸老師  发表于 2025-1-22 07:07
114 台大推  发表于 2025-1-22 07:05
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 楼主| 发表于 2025-1-22 07:05 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2025-1-17 18:53
楼上 Ysu2008 的解答很好!已收藏。下面是我的另一种解法:

謝謝陸老師
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发表于 2025-1-24 11:12 | 显示全部楼层
题:P,M 是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上两点,OM 平行于过 P 点的椭圆切线,求 ΔOPM 面积。

思路(纯初数法):设P(m,n),则过P的切线为mx/a^2+ny/b^2=1,即mb^2x+na^2y-a^2b^2=0.

故,OM的方程为y=-mb^2x/(na^2).  把此代入椭圆方程得 x^2/a^2+m^2b^2x^2/(n^2a^4)=1,

即 x^2=n^2a^4/(m^2b^2+n^2a^2),类似地,y^2=m^2b^4/(m^2b^2+n^2a^2).

故∣OM∣^2=x^2+y^2=(m^2b^4+n^2a^4)/(m^2b^2+n^2a^2).

显然,O到切线的距离d^2=a^4b^4/(m^2b^4+n^2a^4),

故,4(SΔOPM)^2=∣OM∣^2d^2=a^4b^4/(m^2b^2+n^2a^2)

=a^2b^2/(m^2/a^2+n^2/b^2)=a^2b^2,即SΔOPM=ab/2.
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发表于 2025-1-25 13:02 | 显示全部楼层

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发表于 2025-1-25 13:15 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。
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