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求半径为 r 的圆的内接四边形 ABCD 的最大面积

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发表于 2025-1-20 15:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
求半径为r的圆的内接四边形的最大面积。
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发表于 2025-1-20 19:18 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：



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ataorj
发表于 2025-1-21 08:15 | 显示全部楼层
首先，对角和180，所以内角都小于180，是凸四边形A。
任一对角线a分A成两个三角形，a上两高b，c。
面积和S=0.5a（b+c）
a不动，b，c最大化。然后新的b，c不动，a最大化。
结论显而易见，正方形面积最大。
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 楼主| 发表于 2025-1-21 12:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-1-21 18:32 编辑

题：求半径为r的圆的内接四边形ABCD的最大面积。

法1：ABCD是半径为r的圆的内接四边形，记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，
则其面积2S=adsinA+bcsin(π-A)=(ad+bc)sinA≤ad+bc  (此时A=90°)
                  ≤(a^2+d^2+b^2+c^2)/2  (此时a=b=c=d)
                  =(4r^2+4r^2)/2=4r^2，即Smax=2r^2。

法2，显然，欲使半径为r的圆的内接四边形ABCD的面积最大，圆心O必在四边形内。
连OA，OB，OC，OD，则2S=r^2(sinα+sinβ+sinγ+sinθ)≤4r^2，即Smax=2r^2
（此时α=β=γ=θ=π/2）。

法3，设圆的方程为x^2+y^2=r^2，在第一象限，显然，原点和圆与坐标轴的两交点
为顶点的直角三角形的面积最大，且为r^2/2。据对称性，圆与坐标轴的四个交点为顶
点的正方形的面积最大，这时有Smax=4×r^2/2=2r^2。
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发表于 2025-1-21 17:27 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的帖子很好！已收藏。
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发表于 2025-1-24 09:58 | 显示全部楼层
边长为1的正3边形的面积 = 0.433012702,
边长为1的正4边形的面积 = 1.000000000,
边长为1的正5边形的面积 = 1.720477400,
边长为1的正6边形的面积 = 2.598076212,
边长为1的正7边形的面积 = 3.633912443,
边长为1的正8边形的面积 = 4.828427124,
边长为1的正9边形的面积 = 6.181824193,

四舍五入后得到这样一串数——A134030——2024 年3月11日

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 54, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 134, 140, 147, 154, 161, 168, 176, 183, 191, 199, 207, 215, 223, 232, 240,
249, 258, 267, 277, 286, 296, 306, 316,326, 336, 346, 357, 368, 379, 390, 401, 412, 424, 436, 447, 459, 472, 484, 496, 509, 522,535, 548, 561, 575, 588, 602, 616, 630, 644, 659, 673, 688, 703, 718, 733, 748, 764,
780, 796, 812, 828, 844, 860, 877, 894, 911, 928, 945, 963, 980, 998, 1016, 1034, 1052, 1071, 1089, 1108, 1127, 1146, 1165, 1184, 1204, 1223, 1243, 1263, 1283, 1304, 1324, 1345, 1365, 1386, 1407, 1429, 1450,
1472, 1493, 1515, 1537, 1559, 1582, 1604, 1627, 1650, 1673, 1696, 1719, 1743, 1766, 1790, 1814, 1838, 1863, 1887, 1912, 1936, 1961, 1986, 2012, 2037, 2062, 2088, 2114, 2140, 2166, 2193, 2219, 2246, 2273,...}
  1. Table[Round[Cot[Pi/n]*n/4], {n, 3, 99}]
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
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\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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