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求半径为 r 的圆的内接四边形 ABCD 的最大面积

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发表于 2025-1-20 15:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
求半径为r的圆的内接四边形的最大面积。
发表于 2025-1-20 19:18 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子,可供参考:



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发表于 2025-1-21 08:15 | 显示全部楼层
首先,对角和180,所以内角都小于180,是凸四边形A。
任一对角线a分A成两个三角形,a上两高b,c。
面积和S=0.5a(b+c)
a不动,b,c最大化。然后新的b,c不动,a最大化。
结论显而易见,正方形面积最大。
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 楼主| 发表于 2025-1-21 12:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-1-21 18:32 编辑

题:求半径为r的圆的内接四边形ABCD的最大面积。

法1:ABCD是半径为r的圆的内接四边形,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,
则其面积2S=adsinA+bcsin(π-A)=(ad+bc)sinA≤ad+bc  (此时A=90°)
                  ≤(a^2+d^2+b^2+c^2)/2  (此时a=b=c=d)
                  =(4r^2+4r^2)/2=4r^2,即Smax=2r^2。

法2,显然,欲使半径为r的圆的内接四边形ABCD的面积最大,圆心O必在四边形内。
连OA,OB,OC,OD,则2S=r^2(sinα+sinβ+sinγ+sinθ)≤4r^2,即Smax=2r^2
(此时α=β=γ=θ=π/2)。

法3,设圆的方程为x^2+y^2=r^2,在第一象限,显然,原点和圆与坐标轴的两交点
为顶点的直角三角形的面积最大,且为r^2/2。据对称性,圆与坐标轴的四个交点为顶
点的正方形的面积最大,这时有Smax=4×r^2/2=2r^2。
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发表于 2025-1-21 17:27 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2025-1-24 09:58 | 显示全部楼层
边长为1的正3边形的面积 = 0.433012702,
边长为1的正4边形的面积 = 1.000000000,
边长为1的正5边形的面积 = 1.720477400,
边长为1的正6边形的面积 = 2.598076212,
边长为1的正7边形的面积 = 3.633912443,
边长为1的正8边形的面积 = 4.828427124,
边长为1的正9边形的面积 = 6.181824193,

四舍五入后得到这样一串数——A134030——2024 年3月11日

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 54, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 134, 140, 147, 154, 161, 168, 176, 183, 191, 199, 207, 215, 223, 232, 240,
249, 258, 267, 277, 286, 296, 306, 316,326, 336, 346, 357, 368, 379, 390, 401, 412, 424, 436, 447, 459, 472, 484, 496, 509, 522,535, 548, 561, 575, 588, 602, 616, 630, 644, 659, 673, 688, 703, 718, 733, 748, 764,
780, 796, 812, 828, 844, 860, 877, 894, 911, 928, 945, 963, 980, 998, 1016, 1034, 1052, 1071, 1089, 1108, 1127, 1146, 1165, 1184, 1204, 1223, 1243, 1263, 1283, 1304, 1324, 1345, 1365, 1386, 1407, 1429, 1450,
1472, 1493, 1515, 1537, 1559, 1582, 1604, 1627, 1650, 1673, 1696, 1719, 1743, 1766, 1790, 1814, 1838, 1863, 1887, 1912, 1936, 1961, 1986, 2012, 2037, 2062, 2088, 2114, 2140, 2166, 2193, 2219, 2246, 2273,...}
  1. Table[Round[Cot[Pi/n]*n/4], {n, 3, 99}]
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