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求函数 y=(sinx+cosx)/(1-sinxcosx) 的值域

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发表于 2025-1-20 15:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
求函数y=(sinx+cosx)÷(1-sinxcosx)的值域
发表于 2025-1-20 18:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ysu2008 于 2025-1-20 18:24 编辑

求导并令导数为 0
\(\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin x+\cos x}{1-\sin x\cos x}\right)=\frac{\left( \sin x+\cos\right)'\left( 1-\sin x\cos x\right)-\left( \sin x+\cos\right)\left( 1-\sin x\cos x\right)'}{\left( 1-\sin x\cos x\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\cos x-\sin x-\sin^3x+\cos^3x}{\left( 1-\sin x\cos x\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow\cos x-\sin x-\sin^3x+\cos^3x=0\)
\(\Rightarrow\cos x=\sin x\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\pm n\pi\ {,}\ n\mathbb{\in Z}\)

代入\(\frac{\pi}{4}\)算得最大值 \(2\sqrt{2}\),代入\(\frac{\pi}{4}+\pi\)算得最小值 \(-2\sqrt{2}\)
\(\therefore y\in\left[ -2\sqrt{2}{,}2\sqrt{2}\ \right]\)
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发表于 2025-1-20 19:45 | 显示全部楼层
楼上 Ysu2008 的解答很好!已收藏。
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发表于 2025-1-21 11:45 | 显示全部楼层
求函数 y=(sinx+cosx)/(1-sinxcosx) 的值域。

思路:由y=(sinx+cosx)/(1-sinxcosx) ,

有y^2=(sinx+cosx)^2/(1-sinxcosx) ^2,

即y^2=4(1+sin2x)/(2-sin2x) ^2。

显然,仅当sin2x=1,即x=kπ+π/4(k∈Z)时,

y^2≤8,,即值域为[-2√2,2√2]。

其中,当x=kπ+π/4(k是奇数)时,y=-2√2 ,

当x=kπ+π/4(k是偶数)时,y=2√2 。

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发表于 2025-1-21 19:08 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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