函数 y=(sinx+cosx)／(1-sinxcosx) 值域为整数集 {a,b,c,d,e}，求证：a+b+c+d+e=abcde

波斯猫猫

已知: 函数y=(sinx+cosx)／(1-sinxcosx) 值域为整数集{a，b，c，d，e}，
求证: a+b+c+d+e=abcde.

思路：由y=(sinx+cosx)／(1-sinxcosx) ，

有y^2=(sinx+cosx)^2／(1-sinxcosx) ^2，

即y^2=4(1+sin2x)／(2-sin2x) ^2。

显然，仅当sin2x=1，即x=kπ+π/4(k∈Z)时，y^2≤8。

显然，值域{a，b，c，d，e}={-2，-1，0，1，2}。

故a+b+c+d+e=0=abcde，即a+b+c+d+e=abcde。