复数的三角函数

luyuanhong

复数的三角函数

原创 围城里的猫 MathSpark 2025 年 01 月 19 日 17:54 安徽

在这期推送中，我们将了解如何计算复变量 z 的正弦、余弦和正切，而且在此过程中，会发现三角函数 sin 和 cos 与双曲函数 sinh 和 cosh 之间的关系。

不过要做到这一点，需要理解求复数正弦的含义。这很自然，干事情之前你得知道自己在干什么事情，有没有经验，否则一切都会显得徒劳，回忆一下实数 θ（锐角）的正弦可以定义为在一个直角三角形中，角度 θ 所对的边长与斜边的比值。但是，当角度是复数时，这种定义如何应用并不显然。

因此，我们将首先探讨一些解释复数三角函数的其他方式。然后，借助欧拉公式和双曲函数，推导出一些有用的公式，以便使用实数域中熟悉的函数来进行复数三角运算。

正弦函数的其他解释

当然，正弦函数不仅仅是关于三角形的。我们还知道，从纯粹数学函数的角度来看，正弦函数具有一个特殊的性质：正弦函数的二阶导数是正弦函数的负值：



忽略常数的影响，正弦函数就是以下二阶微分方程的解：



这就是支配理想摆等运动的公式。我们还知道正弦函数可以表示为麦克劳林级数：



其他三角函数也有类似的结果。我们可以对复函数进行微分，也可以计算复变量的多项式，因此我们有充分的理由期待这些数学函数可以应用于复数。

不幸的是，这些解释并不能直接帮助我们找到函数复数版本的表达式。我们需要采取略微不同的方法。

我们希望实现什么目标？

值得我们退一步思考一下，我们想从中得到什么。如果我们有某个实函数 f(x) ，并且我们确信它也适用于复数，那么当然可以将其称为 f(z) 。大功告成。

问题是我们对 f(z) 一无所知。我们甚至可能不知道如何计算 f(z) 在任何特定 z 下的值。以正弦函数为例，我们可以使用麦克劳林展开式计算其近似值。我们甚至可以计算其导数，但那将以复余弦函数的形式来出现，这同样是一个神秘的存在。

我们不知道的是函数的性质。与实数正弦函数的所有已知性质相比，复数正弦函数是一本封闭的书。

什么能解决这个问题呢？好吧，也许我们可以将函数的结果分为实部和虚部，那就有帮助了。也就是说，如果我们可以像这样表示 f(z) ：



这里，结果的实部是 u(x,y) ，它是两个实变量的实函数（即 z 的实部和虚部）。结果的虚部是 v(x,y) ，它也是一个由相同的两个实变量构成的实函数。如果 u 和 v 与我们已经知道的函数相关，那就更好了。

当然，复函数永远不会像实函数那样容易掌握。这是因为输入是二维的，输出也是二维的。

一个例子——虚数指数函数

你可能熟悉的一个例子是虚数指数函数：



根据欧拉公式我们知道这可以写成：



虽然这涉及的是虚数参数，而不是一般的复数参数，但它遵循了我们之前描述的模式。我们可以将结果的实部和虚部作为单独的实函数来计算。顺便说一句，将其扩展为一个复数参数相当容易：



对于我们的目的来说，我们所需要的只是该公式的虚数版本。

正弦和余弦作为虚数函数

欧拉公式提供了正弦、余弦和虚数领域之间的有用联系。这里再次给出欧拉公式，并展示其负角度θ的等式：



如果我们将这两个方程相加，我们就可以用虚数指数来表示余弦函数：



简化为：



我们可以对正弦做同样的事情，通过减去两个方程：



这给了我们几个用虚指数函数表示的正弦和余弦的略显奇怪的方程。这不是我们真正需要的，但离我们的目标更近了一步。

双曲函数

如果你熟悉双曲函数，上面的公式可能看起来很熟悉。双曲正弦函数 sinh 定义为：



双曲余弦函数 cosh 定义为：



这些很快就会变得非常有用。

虚值的正弦和余弦

这就是事情开始变得有趣的地方。如果我们采用前面的正弦和余弦表达式，但将它们应用于虚数参数，会怎么样？

第一个问题是，我们能做到吗？它有效吗？我们不会在这里证明这一点，但我们可以证明这一点。我们知道指数函数可以应用于虚数。如果我们使用其麦克劳林展开式定义该函数，那么它只是一个多项式：



我们没有理由不能在多项式中使用复数值。同样，我们可以通过麦克劳林展开式定义正弦和余弦，因此也没有理由不能使用虚数参数：



那么，虚数的正弦是多少呢？我们可以从前面正弦的定义中找到，只不过现在其参数为 iθ ：



指数中包含了一个 i 乘以 i 的因子，我们可以将其简化为 -1 ：



还要记住，1/i 等于 -i ，因此我们可以将 i 项移出分母。然后我们交换 e 中的项以删除负号：



现在分数项就是 sinh 函数的定义。所以我们得到了这个漂亮的结果：



我们可以用虚数的余弦做一些非常类似的事情：



现在我们已经有了求复数正弦和余弦所需的一切。

复正弦

为了处理复数情况，我们将利用两个角度和的正弦的标准公式：



对于复数 x+iy ，我们用实部 x 代替 A ，用虚部 iy 代替 B ：



我们能做到吗？我们不会在这里证明这一点，但可以使用前面的正弦和余弦的指数形式来证明。

现在我们有了 sin(iy) 和 cos(iy) 中的几个项。我们知道如何处理这些，通过将它们转化为双曲函数来处理它们。代入上面的结果可得到：



下面是复正弦函数实部和虚部的彩色图：



当然我们也可以看看 3D 的图：



复数余弦

复数余弦函数可以用与正弦类似的方式计算，即使用角度和的余弦公式：



再次，我们用实部 x 代替 A ，用虚部 iy 代替 B ：



并将虚数项转换为双曲函数：



这是彩色图：



下面同样是 3D 图：



复数正切

我们可以对其他三角函数做类似的事情。我们不会介绍所有三角函数，但作为示例，这里介绍如何求复数的正切。首先，我们将求虚数的正切表达式。对于 tan 的定义：



如果我们用双曲函数代替虚数正弦和余弦，就像之前一样，可以用双曲正切来求正切：



这个结果也许并不太令人惊讶。接下来，我们将使用两个角度之和的正切的标准公式：



与之前一样，我们将其应用于 x+yi 的实部和虚部：



最后，用双曲正切代替 iy 的正切，我们得到复数正切的公式：



下面是彩色图和 3D 图形：







围城里的猫