格雷夫斯(Graves)定理

Ysu2008

如图，考虑一条柔软且无弹性的封闭套索套在一个小椭圆上，用笔尖将套索绷紧，笔尖移动过程中始终保持套索紧绷。
求证：笔尖的轨迹是一个椭圆，且与小椭圆共焦点。

或者：已知一大一小两个共焦点椭圆，从大椭圆任意一点向小椭圆引两条切线。
求证：两切线长度与椭圆优弧长度之和为定值。


该问题最早由爱尔兰牧师兼数学家查尔斯·格雷夫斯( Charles Graves )于1850年证明，证明用到椭圆积分，数学界仍在寻找该定理的初等证明……

天山草

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常见的格雷夫斯（Graves）定理是一个与椭圆相关的几何定理。具体内容如下：

- 内容表述：给定两个共焦点的椭圆 C1 和 C2，C1 在 C2 内部，过 C2 上一点 P 作 C1 的切线 PA 和 PB，其中 A、B 为切点， 记  L 为 C1 上 A、B 之间的较长的弧或较短的弧，则 PA+PB+L  为定值。

- 等价表述：若将绳圈套在一个椭圆上，用笔绷紧绳子绕行一周，得到的轨迹依然是一个椭圆，且与所绕行的椭圆共焦点。

- 发现历史：由爱尔兰数学家 Charles Graves 在1841 年出版的一本译作中首次提到，法国数学家夏莱（Michel Chasles）于1843年也独立发现了该定理。

- 证明方法：常见的证明方法有力学法和微元法。力学法是借助物理模型，将数学问题转化成物理力学问题，利用孤立系统势能原理证明。微元法是牛顿开创的几何分析方法，通过分析微元情况

证明 PA+PB+L 不随点 P 位置的变化而变化，从而说明其为定值。

= 此外，还有一个与格雷夫斯定理类似的定理叫做麦卡洛克（Maccullagh）定理，表述为给定一个椭圆和共焦点的双曲线，过椭圆上一点作双曲线的切线，也有类似的定值结论。