\(\huge\color{red}{不含无穷大的自然数集是空集}\)

春风晚霞

       1、什么是自然数
       自然数在不同的学段有不同的定义，但这些定义都是等价的
       ①、在小学阶段自然数的定义是：用以表示事物个数或给事物编序的数叫自然数，也称正整数。(参见《辞海》自然数词条)
       ②在大学阶段自然数的定义是：有限集的基数叫自然数。（参见余元希等著《初等代数研究》高等教育出版社 上册P4页15行）
       2、关于自然数的基础理论
       ①、Cantor实正整数生成法则
       Cantor根据他的无穷是整体完成了的实无穷思想，提出了如下实正整数生成法则：\(\overline{\overline{E_\nu}}=\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1\)（即康托尔实正整数第一生成法则）(参见康托尔《超穷数理论基础》P75页第5行)并在此基础上得出了著名的有穷基数的无穷序列：1，2，3，…\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，…\(\omega+\nu\)，\(2\omega+1\),……（参见参见康托尔《超穷数理论基础》P43页）。
       ②、Peano axioms（皮亚诺公理）
       1889年，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中给出了如下公理系统：
       (1)、1是自然数；(2)、任一自然数都有唯一自然数为其后继数；(3)、没有两个相异自然数有同一后继数；(4)、1不是任何自然数的后继数；(5)、如果1有性质p，且任何具有性质p的自然数其后继数也具有性质p，则一切自然数都有性质p。
       3、自然数集是无限集
       自然数集是无限集，这是由定理：集合A是无限集的充分且必要条件是：A与某真子集对等。（参见周民强《实变函数论》P23页第4行定理1.9，夏道行等著《实变函数与泛函分析》上册P8页定理2），……
       4、自然数集\(\mathbb{N}\supset\infty\)
       ①、什么是\(\infty\)
      【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       ②、什么是\(\mathbb{N}_∞\)
       根据上述无穷大的定义知无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，记为\(\mathbb{N}_∞\)，即\(\mathbb{N}_∞=\{n｜n>N_E，n∈N\}\).
       ③、什么是\(m\to\infty\)
       因为∞是一个集合，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)两种情况。
       【定义】：当\(n\in\mathbb{N}_∞\)时，称n趋向于无穷大记为n→∞.
       ④、自然数集\(\mathbb{N}\supset\infty\)
       【证明】无穷大的定义及皮亚诺公理（Peano axioms)，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\supset\infty\)且\(\mathbb{N}_∞\ne\phi\)
       5、根据自然数的定义，“最小”自然数集与自然数集的关系：
       如果记皮亚诺意义下的自然数集为\(\mathbb{N}_p\);由康托尔实正整数第一生成法则定义的自然数为\(\mathbb{N}_c\)，小学阶段定义的自然数集为\(\mathbb{N}\)，易证：\(\mathbb{N}\subset\mathbb{N}_p=\mathbb{N}_c\)!
       6、不含无穷大的自然数集是空集
       【证明】：设\(\mathscr{N}\)是不含\(\infty\)的自然数的集合，则在\(\mathscr{N}\)中不存在\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)，根据Peano axioms，\(\nu\)的前趋\(\nu-1\)亦不存在（否则\(\nu\)存在），所以\(\nu-1\)的前趋\(\nu-2\)亦不存在。……，逆用Peano axioms可推得（k+1）不存在，k也不存在，……直至1不存在，0也不存在。所以\(\mathscr{N}=\phi\)；即不含无穷大的自然数集是空集！

elim

对不存在的东东用皮亚诺公理？作减法？
孬种干嘛不拿这循环屁证明\(0\)是超穷数？
\(\because\quad v\)超穷,\(v-1,v-2,\ldots\)皆超穷, 于是
\(\qquad 0\)为超穷数，自然数皆为超穷数？
哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈…
设\(S=\{n\in\mathbb{N}:n\text{ 是超穷数}\}\). 若\(S\ne\varnothing,\)
则由\(\mathbb{N}\)的良序性,\(S\)有最小元. 记作\(\mu.\)据皮
亚诺公理, \(\mu\)有前趋\(\eta\).  因\(\mu\)是最小超穷自
然数, \(\eta\)不是超穷数．进尔其后继\(\mu\)亦非超
穷数．\(\mu\)超亦非超这个矛盾说明\(S=\varnothing\)即
没有超穷自然数．