伯特兰悖论——从直觉到数学的跃迁

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伯特兰悖论——从直觉到数学的跃迁

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2025 年 02 月 20 日 12:15 浙江

数学史上有这么一道题，居然用不同的思路去解，会得到不同的答案，而且几个答案都很有道理。

这是 1889 年，由法国数学家约瑟夫·伯特兰（Joseph Louis Francois Bertrand）在著作《概率的计算》（Calcul des probabilités）中提出的有关概率的问题，被称为“伯特兰悖论”（Bertrand Paradox），又称“贝特朗悖论”。

这究竟是怎么一回事？



题目是这样的：有一个内接于圆的正三角形，如果在圆上随机画一条弦，那么这条弦比正三角形的边长更长的概率是多少？



第一种思路：

固定弦的一个端点，那么另一端点可以在圆周上任意选择，不妨将固定点选在正三角形一个顶点上，那么另一端点只有落在三角形另两个顶点之间的劣弧上，才能保证弦长满足要求，所以这种方法得到的概率是 1/3 。



第二种思路：

选择圆的一条直径，然后过该直径上任意一点作垂线，与圆相交形成弦。只要保证弦的中点落在直径的中间部分，就能满足弦长要求，所以这种方法得到的概率是 1/2 。



第三种思路：

在正三角形内再作一个内切圆，这个圆的半径正好是原来大圆的一半，然后在大圆内任意作弦，只要保证弦的中点落在小圆内，弦长就能满足要求。因为弦中点可以遍布整个圆，所以此时的概率就是小圆与大圆面积之比，等于 1/4 。



我们知道一道数学题，无论用什么方法求解，应该只有唯一的正确答案。但现在用了三种方法却得到三个不同的结果，而且每一个都很有道理。这岂不违背了数学的一致性？

原来问题就出在题目中“随机”二字的定义，所谓的“随机”应该是空间中等几率地均匀分布。然而题目中并没有明确是针对哪个空间，或者叫哪个样本空间。



方法一的样本空间是圆周上的对点，方法二的样本空间是直径上的点，方法三的样本空间是大圆内的点。

所以当选择其中一个空间均匀分布时，在另外两个空间上并非均匀分布。

三种方法下，我们来看弦中点的分布：只有第三种方法，看上去比较均匀，前两种有明显的疏密。



如果我们看整条弦的分布，又会发现：方法二中弦的轨迹比较均匀，而一和三又有明显的疏密。



伯特兰悖论的本质是：概率空间定义不明确。

这个问题让数学家意识到，早期概率论中，存在由直觉造成定义模糊的问题，特别对“随机”或“均匀分布”等词，容易产生歧义。

这也催生了概率论公理化体系的建立。1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov），利用测度论，将概率论公理化（在《概率论的基本概念》中提出）。概率论建立在了严格的数学基础上，这也奠定了现代概率论的基石。


前苏联数学家柯尔莫哥洛夫

从此，概率问题要求明确三个要素：样本空间（所有可能结果）、事件域（可分配概率的事件集合）和概率测度（如何分配概率）。

只有明确这些，问题才有唯一解。

因此，伯特兰问题中的不同答案，实际上对应不同的概率空间定义，所以它成了一个“模型选择问题”。

这一神奇的悖论，能让我们直观感受到，概率论从直觉到数学的跃迁。

值得一提的是：伯特兰曾辅导过不擅长数学考试的埃尔米特，助其通过学位考试，埃尔米特后来成为数学全才庞加莱的导师，同时也成为了伯特兰的妹夫。


从左往右分别为：伯特兰、埃尔米特、庞加莱

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重磅推荐豆瓣评分 9.4 的神作《概率论沉思录》，该书对概率论在数学、物理学、经济学等领域的应用，进行了深入分析与思考，当然也包括伯特兰问题：作者认为在当时的语境下应该有唯一答案，于是有人在几米高的地方往地面的圈圈里投稻草，通过实验的方式，来模拟语境中的“随机”，来看看到底是哪个结果。而作者认为应该满足旋转不变性、平移不变性和尺度（缩放）不变性，也就是在这三种情况下弦都是均匀分布的，才符合语境中的“随机”。这样看来，唯一的答案应该是方法二的 1/2 。

他进一步反思，认为在“实际”物理应用中，每当我们尝试使用概率术语来表达感兴趣的问题时，几乎总是会发现类似伯特兰的陈述，显然有重要的事情没有说明，它似乎太模糊了，无法得到任何明确的解。书中很多探讨已经上升到了对科学本质与哲学层面的反思，十分深刻。该书适合有概率论基础，并希望继续深入思考的终生学习者。


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