【人物】2022 年菲尔兹奖，一位乌克兰数学家在战争与和平环境下的工作

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【人物】2022 年菲尔兹奖，一位乌克兰数学家在战争与和平环境下的工作

原创 Thomas Lin 梧桐阅览 2025 年 02 月 27 日 08:01 湖北

2022 伴随着俄乌冲突，球面堆积数论专家玛丽娜·维亚佐夫斯卡成为了 86 年来第二位获得菲尔兹奖的女性。

如今 2025 年，在美国与俄罗斯谈判，而乌克兰却无法参与的情况下，我们重温一下乌克兰这位传奇的数学家。


乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡 2022 年 5 月在瑞士洛桑联邦理工学院

2022 年 2 月晚些时候，就在玛丽娜·维亚佐夫斯卡得知自己获得菲尔兹奖，数学领域的最高荣誉。几周后，俄乌冲突爆发。

维亚佐夫斯卡已经不再居住在乌克兰，但她的家人都还留在那里。她的两个妹妹、一个 9 岁的侄女和一个 8 岁的侄子踏上了前往瑞士的旅程，那里是维亚佐夫斯卡现在的居住地。她们首先不得不等待两天，直到交通状况有所缓解；即便如此，向西的行程仍然异常缓慢。在一位陌生人的家中待了几天后，她们作为战争难民等待着轮到自己。一天晚上，四人步行穿过边境进入斯洛伐克，在红十字会的帮助下前往布达佩斯，随后登上飞往日内瓦的航班。3 月 4 日，她们抵达洛桑，与维亚佐夫斯卡、她的丈夫、她 13 岁的儿子和 2 岁的女儿一起居住。

维亚佐夫斯卡的父母、祖母和其他家庭成员仍然留在基辅。随着俄乌冲突，维亚佐夫斯卡每天都试图说服他们离开。但她的祖母已经 85 岁高龄，她在第二次世界大战期间作为孩子经历过德国纳粹的战争和占领，她拒绝离开，而父母也不愿丢下她。维亚佐夫斯卡说：“我的祖母无法想象她会死在乌克兰之外，因为她一生都在那里度过。”

在三月份的一次俄军空袭中，安东诺夫飞机制造厂被夷为平地，Viazovska 的父亲曾在苏联晚期在那里工作，而她小时候就在附近上的幼儿园。幸运的是，对于 Viazovska 的家人和其他基辅居民来说，在当月晚些时候，冲突转移至顿巴斯地区。但战争尚未结束。Viazovska 的姐妹们提到，她们的一些朋友不得不参战，其中一些人甚至已经牺牲。

Viazovska 在五月时表示，尽管战争和数学在她的思维中属于不同的领域，但过去几个月她的数学研究工作已经停滞，“当我与某人发生冲突或经历情绪上的困境时，我就无法工作。”她说。

2022 年 6 月 5 号，Viazovska 在芬兰赫尔辛基的国际数学家大会上接受菲尔兹奖。这一大会由国际数学联盟每四年举办一次，并与菲尔兹奖的颁奖仪式同步进行。原定于俄罗斯圣彼得堡举行的会议因俄乌冲突，引发了超过 400 名数学家的联合抵制。然而，在二月份俄乌冲突爆发以后，IMU 决定改为线上举办大会，并将线下颁奖仪式移至芬兰。

在颁奖典礼上，IMU 表彰了 Viazovska 在数学领域的诸多成就，特别是她证明了 E8 晶格是八维空间中最密集的球体堆积方式。她是菲尔兹奖 86 年历史上第二位获得此殊荣的女性。（第一位是 2014 年的 Maryam Mirzakhani 。）


Maryam Mirzakhani

正如其他菲尔兹奖得主一样，Viazovska 解决了许多极具挑战性的问题——那些许多数学家尝试过但未能攻克的难题。数学家 Henry Cohn表示：“她能够发现非常简单、自然、深刻的结构——那些没有人预料到、也无人能够找到的东西。”

经济生活中的二阶导数

在一个五月雨天的下午，从 EPFL 地铁站外很难直观地找到洛桑联邦理工学院的具体位置。这所大学的英文名称是 Swiss Federal Institute of Technology Lausanne ，在数学、物理和工程领域享有盛誉，有时甚至被称为“欧洲的 MIT”。沿着一条既供自行车也供行人通行的小道穿过一座小公路后，校园生活的标志性景象逐渐显现：两层架满自行车的停车架、充满未来感的模块化建筑、排列着教室、餐厅和学生宣传海报的中央广场。广场的尽头是一座现代化的图书馆和学生中心，其建筑设计呈现出起伏的三维曲线，使得学生们可以在建筑内外的不同层面上穿行。从下方望去，天空透过类似瑞士奶酪孔洞般的圆柱形开口映入眼帘。

不远处，在其中一座模块化建筑内，一位教授刷过门禁卡，推开一扇橙色双开门，进入数学系的核心区域。穿过诺特、高斯、克莱因、狄利克雷、庞加莱、柯瓦列夫斯卡娅和希尔伯特的肖像后，一扇绿色的门上简洁地标注着：“玛丽娜·维亚佐夫斯卡教授，算术学教席。”



室内，办公室布置简洁实用：只有一台电脑、打印机、黑板、文件和书籍，几乎没有什么个人物品。维亚佐夫斯卡施展魔法的地方似乎并非一个时空中的物理场所，而是一个更高维度的抽象世界，存在于她的脑海中。

在她办公室的小桌子对面，世界顶尖的球面堆积数论专家开始以她一贯的实事求是的语气讲述她的故事。渐渐地，她打破了这种冷静，露出了微笑，眼睛闪闪发光，目光向上，她越来越生动地回忆起过去的记忆。

最早的记忆是她 3 岁时和祖母一起从她家那栋实用主义的赫鲁晓夫公寓楼出发，沿着宽阔的大道走到地球化学家弗拉基米尔·维尔纳茨基的纪念碑那里，祖母把她抱起来，抛向空中。维亚佐夫斯卡说，20 世纪 80 年代末的苏联是一个艰难时期，那时她才 3 岁。

“人们要花很多很多时间才能买到基本的生活用品。”当商店里缺少黄油或肉类等商品时，她的母亲会因为为自己三个孩子多拿一些而感到内疚，还担心排在长队中的人会对她生气。她的家庭并不富裕，因为那时根本没有什么东西可买，但她的父母确保她和姐妹们永远不会挨饿或没有暖气。商店里没有漂亮的衣服，但有时工厂会用捷克斯洛伐克生产的时尚鞋子作为奖励，激励工人好好工作。母亲告诉她，鞋子可能不合脚，但如果你赢了一双，你可以和赢了你尺码鞋子的人交换。

“苏联解体时，我才 6 岁。”维亚佐夫斯卡说。她的家人对生活在自由独立的乌克兰感到兴奋，但恶性通货膨胀却进一步加剧了他们的经济困境。在苏联时期，有钱却无处可花；而在乌克兰独立后的最初几年，虽然有商品可买，但却没有足够的钱去购买。她的母亲一直工作到 1995 年，而在她工作的最后一年，她告诉女儿，她的月薪甚至不够买一张地铁票。



维亚佐夫斯卡形容她的父亲是一位“精力充沛”且“富有创业精神”的前化学家，她回忆起父亲如何辞去工作，通过一个接一个地创办小型企业来拥抱新的现实。她说，那个新的现实是混乱且不可预测的。“有一天，你可能一无所有。然后又出现了一个机会，你突然拥有一切。”

尽管如此，维亚佐夫斯卡和她的丈夫丹尼尔·叶夫图辛斯基（EPFL 的物理学家）仍然记得乌克兰人对经济增长的希望和热情。“在经济中，重要的是导数，而不是绝对值。”叶夫图辛斯基说，他指的是增长速度比当前资产更为重要。

鉴于有时那个绝对值低得可怜，维亚佐夫斯卡笑着回应道：“也许是二阶导数。”

近乎无穷大

在小学一年级时，维亚佐夫斯卡意识到自己更喜欢数学而不是语文：“在阅读上，我太慢了。在写作上，我太乱了。但数学，我倒是挺在行的。”

这并不是说她不喜欢阅读。她读过亚历山大·杜马和儒勒·凡尔纳的作品，还有父母给她买的海盗冒险小说。后来，她发现了科幻小说，并爱上了这个类型。她提到，雨果奖获奖短篇小说《献给阿尔吉侬的花束》给她留下了深刻的印象，因为它“其实讲的是我们自己”，人类的处境，而不是奇幻的技术。她还读完了俄罗斯兄弟阿卡迪和鲍里斯·斯特鲁加茨基的科幻小说。她说，他们的早期作品对乌托邦过于乐观和天真，但后来他们的写作变得越来越黑暗，“也更聪明、更深刻”。

叶夫图辛斯基回忆说，他大约 12 岁时第一次在课后的物理小组里遇到维亚佐夫斯卡。即使在那时，她就已经以自己的方式解决数学问题。他记得有一个问题涉及一个包含七个元素的物理系统。“玛丽娜猜想七几乎是无穷大。”他说。这个非凡的近似“效果非常好，极大地简化了问题”，他说，“没有人能提出这样的想法。”

维亚佐夫斯卡的妹妹娜塔莉和特蒂亚娜回忆起她从小就展现出的天赋和专注。“当大家都去睡觉时，她还在记事本上写写画画，画一些公式。”娜塔莉说，并补充道，他们的父母担心她学习过度，而不是像其他孩子一样玩耍。

娜塔莉并不期待和姐姐拥有同一位数学老师。“玛丽娜的数学老师成了我的数学老师。”娜塔莉说，“我经常听到别人说玛丽娜是个天才学生。”

维亚佐夫斯卡就读于一所专门的中学（相当于美国的高中），那里先进的数学和物理课程让她充满活力，而那些优秀教师也让她受益匪浅，真正优秀的老师热衷于解释复杂概念，并督促学生努力掌握它们。在那里，她进一步沉浸在她多年来热爱的数学竞赛的世界中。

然而，数学竞赛并不总是对她青睐有加。“它教会你如何输，也教会你如何赢。”维亚佐夫斯卡说，“就我而言，我没有达到我梦想中的成功。”在中学的最后一年，她的梦想是代表乌克兰参加国际数学奥林匹克竞赛。在全国竞赛中，只有排名前 12 的选手会被邀请参加一个训练营，最终从中选出 6 名国家队员。维亚佐夫斯卡排名第 13 。她说自己已经努力了，但“显然还不够努力”。



乌克兰数学奥林匹克竞赛项目负责人、基辅大学数学教授博格丹·鲁布廖夫记得那一年他遇到了维亚佐夫斯卡。他说，她成为如此杰出的数学家是一个“巨大的惊喜”，但他对此“非常高兴，因为她是一个非常好的人”。她后来赢得了许多大学数学竞赛，并且，她说，她还担任基辅奥林匹克竞赛的评委，帮助评分。

鲁布廖夫表示，由于战争，奥林匹克竞赛队目前正在波兰训练，而他作为一名 58 岁的预备役军人，法律上必须留在乌克兰。2022 年 3 月，战争对乌克兰数学界造成了更大的打击，当时俄罗斯对哈尔科夫的一次空袭导致 21 岁的数学家尤利娅·兹达诺夫斯卡娅丧生。五年前，兹达诺夫斯卡娅在欧洲女子数学奥林匹克竞赛中获得银牌，而鲁布廖夫正是该竞赛的组织者之一。“我非常了解她。”他说，“像她这样年轻且有才华的人正在死去，这对我们的国家来说是一场灾难。”

5 月，就在菲尔兹奖即将公布前几周，鲁布廖夫确信像维亚佐夫斯卡这样的乌克兰人，不可能赢得数学领域的最高奖项。“很遗憾她没有获得菲尔兹奖，”他当时感叹道，“但是她值得这个奖项。”

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做正确的事

维亚佐夫斯卡作为数学家的第一个重要时刻出现在 2005 年，当时她作为基辅大学的应届毕业生，参与了她的第一次原创性研究。虽然这并不是一个重大的未解问题，但她意识到这是她能够解决的问题。她说，这种喜悦来自于“感受到论证逐渐成型，并且确实有效”。这一成果增强了她的信心。

维亚佐夫斯卡是在基辅大学的数学教授伊戈尔·舍夫丘克的鼓励下着手研究这个问题的。舍夫丘克曾组织过她参加的一些大学数学竞赛。她说，舍夫丘克曾与一些人讨论过这个问题，包括她和一名硕士研究生安德里·邦达连科。

她和邦达连科共同撰写的论文开启了两人富有成果的合作时期。后来，当邦达连科在基辅大学任教时，他开始与一名优秀的学生丹尼洛·拉德琴科合作。这三位年轻的乌克兰数学家组成了一个团队。

2011 年，维亚佐夫斯卡与邦达连科和拉德琴科一起向《数学年刊》提交了一篇关于球面设计主题的论文。数学家们通常称这本期刊为“Annals”，这或许是数学界最负盛名的期刊，按照维亚佐夫斯卡和拉德琴科当时的博士导师唐·萨格的说法，它是“巅峰中的巅峰”。当拉德琴科告诉萨格他们的目标时，萨格心想：“梦想一下吧……你们还是新手。”

然而，这篇论文被接受了，很快数学家们开始组织整个会议来讨论它。“哇，这是一篇精彩的论文。”微软研究院和麻省理工学院的科恩阅读后这样想。



这篇论文研究了一个经典问题：通过观察函数在一些离散点上的值来分析函数的行为。在三人团队所处理的版本中，函数是一个多项式——比如像  4xy^2z^5 + 3x^4 这样的表达式——我们可以将每个可能的输入视为一个点，这个点存在于与变量数量相匹配的维度空间中（因此，对于上述多项式，每个输入可以被视为一个三维空间中的点，它有 x 、y 和 z 三个轴）。

在维亚佐夫斯卡和她的合作者所研究的问题中，我们感兴趣的是多项式在球面上的平均值。我们可以通过选择球面上的几个点，并计算这些点上多项式的值的平均数来近似这个平均值。如果我们足够幸运——或者如果我们精心选择这些点——我们甚至可能得到一个精确的结果，而不仅仅是近似值。

数学家们早已知道，对于每一个多项式，都可以选择一组有限的点来得到精确的结果。不仅如此，你可以选择一组点，使其适用于所有给定“度数”（多项式中任何一项的最高指数和）的多项式。

例如，如果你在三维空间中工作，你可以在球体内嵌入一个正二十面体，并将其 12 个顶点作为采样点，这样你就能保证得到所有度数不超过 5 的多项式的精确结果。像这 12 个点这样的集合被称为球面设计。

自 20 世纪 70 年代以来，数学家们一直在思考：随着多项式的度数越来越高，球面设计中的点数是如何增长的？这就是维亚佐夫斯卡、邦达连科和拉德琴科所回答的问题。

“这个问题已经被很多人思考了很久，经过一系列次优的构造之后，这篇论文出现了，它说，‘嘿，为什么不这样试试呢？这样你就能得到完全正确的界限，证毕。’”科恩说，“他们并没有通过各种复杂的手段来实现这一点——他们只是把事情做对了。”

魔法函数

在本科期间，维亚佐夫斯卡过着她所说的“双重生活”，将她的学习分配在看似截然不同的代数和分析（微积分的推广）领域。但后来她去波恩攻读博士学位，并开始研究模形式，这些具有特殊对称性的函数与艺术家 M. C. 埃舍尔的圆形镶嵌作品中出现的对称性有关。模形式涉及大量的分析，但它们的对称性也引入了代数的元素。“我意识到，这里正是我的两大热情交汇的地方。”她说。

与邦达连科和拉德琴科一起，她开始探索模形式是否能够照亮一个他们已经尝试解决多年的古老问题：如何以最密集的方式将球体堆积在一起。数学家们已经知道，在平面上，最密集的圆堆积方式是蜂窝状排列；而在三维空间中，最密集的球体堆积方式是我们在杂货店看到的熟悉的金字塔式堆叠。但这个问题也可以扩展到更高维度，它在纠错码方面有重要的应用。





没有人知道在三维以上维度中，最密集的球体堆积是什么样的。但有两个特殊的维度，八维和二十四维，有强有力的候选者。在这两个维度中，分别存在高度对称的排列，称为 E8 和勒奇格点（Leech lattice），它们的球体堆积密度比数学家能找到的任何其他排列都要高得多。

科恩和哈佛大学的诺阿·埃尔基斯开发了一种方法，利用某些函数来计算球体堆积的最大密度上限。在八维和二十四维中，这些上限与 E8 和勒奇格点的密度几乎完美匹配。数学家们确信，在这两个维度中，一定存在一个“魔法”函数，其上限与E8 或勒奇格点完美匹配，从而证明它们是最密集的堆积方式。但研究人员完全不知道如何找到这些魔法函数。


维亚佐夫斯卡使用她以前的博士导师唐·萨格共同撰写的一本书，向学生们教授模形式

邦达连科、维亚佐夫斯卡和拉德琴科试图通过模形式来构建一个魔法函数，但很长一段时间里，他们几乎没有取得进展。最终，邦达连科和拉德琴科将注意力转向了其他问题。然而，维亚佐夫斯卡却无法停止思考球体堆积问题。她后来告诉《量子杂志》，这个问题似乎与她有着某种特殊的联系。

经过数年的思考，维亚佐夫斯卡在 2016 年成功地找到了八维空间中的魔法函数。她发现，答案并不在于模形式，而在于某种“拟模形式”，一种对称性中带有误差的函数。高等研究院的彼得·萨纳克评价说，她发表的论文“绝对令人惊叹”。这是一篇“你一旦拿起，就会一口气读完”的论文。

论文发表后的几个小时内，她的成果迅速传播开来。当天晚上，2018 年菲尔兹奖得主、高等研究院的数学家阿克沙伊·文卡特什向科恩发送了论文链接，邮件主题是“哇！”科恩仔细研读了这篇证明。他说：“我最初的反应是，‘这是什么？它看起来完全不像任何人尝试构建这些函数的方法。’”

在科恩看来，维亚佐夫斯卡所使用的拟模形式一直被视为“模形式的一种有缺陷的版本”，但他意识到，“在这之下隐藏着一个丰富而令人惊叹的理论。”他确信维亚佐夫斯卡的方法也应该适用于二十四维空间，于是他给她发邮件，提议合作。

维亚佐夫斯卡当时最想做的就是休息一下。但她还是同意投入二十四维问题的研究。在那个紧张的一周里，她与科恩、拉德琴科以及其他两位数学家一起，成功证明了勒奇格点（Leech lattice）是二十四维空间中最密集的球体堆积方式。拉德琴科回忆说：“那可能是我一生中最疯狂的一周。”

大胆的猜想

维亚佐夫斯卡和她的合作者们从球体堆积的研究中萌生了更高的目标。数学家们早已怀疑，E8 和勒奇格点不仅仅是最佳的球体堆积方式，它们还可能是“普遍最优”的。数学家们假设，这两个格点在许多标准下都是最佳的排列方式，例如，它们是空间中相互排斥的电子或溶液中扭曲的聚合物处于最低能量状态的排列方式。

为了证明 E8 和勒奇格点在所有这些不同情境下都能最小化能量，团队必须为每种不同的能量概念找到对应的魔法函数，这意味着需要无穷多个魔法函数。然而，他们对这种魔法函数的行为（如果它存在的话）只有部分信息。他们知道函数在某些点的值，而在其他点上，他们知道其傅里叶变换的值，傅里叶变换衡量了函数的自然频率。他们还知道函数及其傅里叶变换在特定点的变化速度。问题在于：这些信息是否足以重建这个函数？

维亚佐夫斯卡提出了一个大胆的猜想：团队所拥有的信息量恰好足以确定这个魔法函数。如果信息更少，就会有许多函数符合条件；如果信息更多，函数就会被限制得无法存在。非常大胆的猜想。

科恩对此表示怀疑。维亚佐夫斯卡所提出的观点如此简单且基础，以至于他当时想：“如果这是真的，人类肯定早就知道了。”他也知道维亚佐夫斯卡不会随意提出猜想。“但我仍然觉得，‘这有点考验她的运气了。’”

维亚佐夫斯卡和拉德琴科首先成功证明了她猜想的一个简化版本，在这个版本中，信息仅限于函数及其傅里叶变换的值，而不涉及它们的变化速度。随后，与他们的球体堆积合作者一起，他们想出了如何证明完整的猜想，这正是证明 E8 和勒奇格点具有普遍最优性所需的。科恩说，似乎在试图理解这些格点的过程中，“玛丽娜也在推动傅里叶分析的前沿发展。”


在洛桑联邦理工学院（EPFL）中央行政大楼前，这座大楼与数学楼相对而立

纽约大学的西尔维娅·塞费尔蒂表示，这篇论文与 19 世纪的伟大突破不相上下，当时数学家们解决了困扰他们前辈数百年的问题。“这篇论文真的是科学的一大进步，”她当时对《量子杂志》说，“知道人类大脑能够产生这样一种证明，对我来说，这是一件非常了不起的事实。”

战争与和平

如果维亚佐夫斯卡在做数学时有时似乎处于另一个层面或不同的维度，那可能是因为，正如她十几岁的儿子迈克尔所学到的，她完全沉浸在自己的世界里。“有时我妈妈戴着耳机，当你跟她说话时，她没有任何反应。”他说。他记得自己是幼儿园最后一个被接走的孩子，当时他们住在柏林（维亚佐夫斯卡正在研究 E8 证明）。他知道母亲赢得了许多数学奖项，但听到菲尔兹奖时仍然感到惊讶，他说：“现在我明白了她为什么如此努力工作。”

5 月初，在距离 EPFL 校园步行 20 分钟的洛桑公寓里，客厅的壁龛里多了一张床，以容纳娜塔莉和特蒂亚娜，以及特蒂亚娜的女儿奥莱克桑德拉和儿子马克西姆。今年春天，奥莱克桑德拉没有在基辅的家中庆祝 10 岁生日，而是在她姑姑玛丽娜位于洛桑的家中庆祝。

公寓的一面墙上挂着维亚佐夫斯卡画的一幅日内瓦湖的风景画。除了数学，艺术自她童年以来一直是她主要的放松方式。她最喜欢的一些画作，比如她画的那个包含埃舍尔风格鱼形图案的克莱因瓶，融入了数学和科学的主题。（她解释说，研究数学很难不对克莱因瓶和 M. C. 埃舍尔产生兴趣。）她有时会通过绘画来帮助自己在工作中可视化几何概念，但她非常清楚，当处理更高维度时，“我们的二维和三维直觉往往是误导性的。”


维亚佐夫斯卡与她 13 岁的儿子迈克尔和 2 岁的女儿索菲在家

维亚佐夫斯卡步行去工作，既是为了锻炼身体，也因为她和丈夫都不会开车——这对夫妇经常互相调侃这一点。“玛丽娜有驾照，但在我们这个三维世界里，她开车很困难。”叶夫图辛斯基开玩笑说。“哈哈。”维亚佐夫斯卡一本正经地回应道。当叶夫图辛斯基解释他正在考驾照时，她形容这是一个“漫长且进展缓慢的过程”。

“我们可能是唯一没有车的父母了。”叶夫图辛斯基说，“我不知道为什么对我们来说这这么难。”

随着谈话不可避免地回到俄乌冲突上，维亚佐夫斯卡分享了一个在家乡的朋友中已经成为一种病态调侃的黑色幽默：“你还记得新冠病毒那段美好的旧时光吗？”

维亚佐夫斯卡的祖母仍然没有离开乌克兰的打算，她告诉维亚佐夫斯卡，尽管自己已经年老，而且生命即将走到尽头，但她不想在战争结束前死去，因为“我想看到和平，我想知道一切最终都会好起来。”

维亚佐夫斯卡为她的祖国感到自豪，但同时也为同胞们不得不适应空袭警报、炮击和战争而感到难过。在熬过了俄乌战争的最初几天后，她的侄子马克西姆开始在夜间梦游。“这可不是没有代价的，”维亚佐夫斯卡说，“这种极端的压力、极端的恐惧，未来肯定会有某种后果。”

至少，她说，“没有人可以阻止我们做数学。至少有些东西是无法被剥夺的。”

中文翻译编辑校对：酉木木

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