求 y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48) 的最小值

波斯猫猫

求y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48)的最小值.

天山草

函数的极值都发生在其一阶导数为零的地方。求 \(y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48)\) 的导数得：
\(dy/dx=4 (x-5) (x^2-10 x+20)\)，解方程 \(4 (x-5) (x^2-10 x+20)=0\)，有三个解是：
\(x1=5-\sqrt{5}\)，\(x2=5\)，\(x3=5+\sqrt{5}\)，将这三个值分别代入 \(y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48)\) 中得到三个极值：
\(y1=-16，y2=9，y3=-16\)。所以最小值是 \(-16\)。

luyuanhong

波斯猫猫

求y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48)的最小值.

解：y=(x^2-6x+8)(x^2-14x+48)

        =(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)

       =(x^2-10x+16)(x^2-10x+24)

       =(x^2-10x+20-4)(x^2-10x+20+4)

       =(x^2-10x+20)^2-16

       =[(x-5)^2-5]^2-16

∴ 当且仅当x=5±√5时，ymin=-16.