90% 家长教不会的时钟难题？钟面上的行程问题：从原理到实战！

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90% 家长教不会的时钟难题？钟面上的行程问题：从原理到实战！

原创  公式库 公式库 2025 年 03 月 04 日 内蒙古

在数学的奇妙世界里，时钟不仅仅是用来报时的工具，它还蕴含着丰富的行程问题知识。今天，我们就来深入探讨钟面上的行程问题，帮助大家掌握这类问题的解题技巧。

小编要先强调一点，本文的内容很考验图形思维能力，看上去可能绕一点，其实很简单！建议大家一定收藏，空闲了就多看几遍！等看懂了，相信就没有再难住你的时钟问题了！

学习目标

认识时钟特征，掌握分针、时针的速度关系；

运用追及、相遇等知识解决时钟问题。

一、认识钟面



速度表示：它的速度和总路程的度量方式不是米/秒或者千米/小时，而是 “每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为 30 度；60 个小格，每个小格为 6 度。所以：

● 分针速度： 1 小格/分，每分钟走 6 度/分。

● 时针速度：1/12 小格/分，每分钟走 0.5 度。

二、钟面上的追及、相遇问题

在钟面上每针都是沿着顺时针的方向转动，但是因为速度不同，所以存在分针追赶时针或是分针超越时针的时刻，因此往往可以转化为追及问题。

在实际问题中往往也会出现时针、分针分布在某个刻度的左右两侧（对称），此时我们可以把问题转化成速度和，即相遇问题。

解题关键：

① 确定初始位置（格数或者角度）。

② 确定分针、时针路程差（和）。

三、时钟重合追及题型

例题 1 ：  3 时多少分时，时针与分针重合？

分析：



3 时的时候，时针指向 3 ，分针指向 12 ，此时时针与分针之间的夹角是 90 度（因为每个大格是 30 度，3 个大格就是 90 度），也可以看作时针与分针之间相差 15 个小格（每个大格有 5 个小格，3 个大格就是 15 个小格）。

我们把这个问题看作是追及问题，分针要追上时针，那么它们的路程差就是 15 个小格。

解题过程：

已知分针速度是 1 小格/分，时针速度是 1/12 小格/分，根据追及时间 = 路程差÷速度差，可得到：



举一反三 1

① ：钟面上分针每小时走 1 圈，而时针才从一个数字移动到另外一个数字，如果从中午 12 点开始，在 12 个小时里分针和时针重叠几次？每隔多少时间重合一次？



解题过程：



② ：某钟面的指针指在 2 点整，再过多少分钟时针和分针第一次重合？



解题过程：

2 点整时，时针指向 2 ，分针指向 12 ，时针与分针之间的夹角是 60 度（2 个大格，每个大格 30 度），也可看作时针与分针相差 10 个小格。

这是追及问题，路程差是 10 个小格，根据追及时间 = 路程差÷速度差，可得：



四、时钟垂直追及题型

例题 2 ：在 7 点与 8 点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

分析：



7 点时，时针指向 7 ，分针指向 12 ，时针与分针间的夹角是 210 度（7 个大格，每个大格 30 度）。

情况一：分针在时针后面 90 度时，此时分针比时针多走了 210-90=120 度。



因为分针速度是 6 度/分，时针速度是 0.5 度/分，根据追及时间 = 路程差÷速度差，可得追及时间为：



情况二：分针在时针前面 90 度时，此时分针比时针多走了 210+90=300 度。





举一反三 2 ：

① ：在 10 点与 11 点之间，钟面上时针和分针在什么时侯相互垂直？

分析：



10 点时，时针与分针间的夹角是 60 度（2 个大格）。

情况一：分针在时针前面 90 度时，此时分针比时针多走了 90-60=30 度。





情况二：分针在时针后面 90 度时，此时分针比时针多走了 360-60-30=210 度（一圈 360 ，减去开始的夹角 60 ，再减去最后的夹角 90 ）。





② ：在 3 点与 4 点之间，时针和分针在什么时候反向成一直线？

分析：



3 点时，时针与分针的夹角是 90 度，当它们反向成一直线时，夹角是 180 度，所以分针比时针多走了 180+90=270 度。





五、时钟对称相遇题型

例题 3 ：8 时到 9 时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等。问这时是 8 时多少分?

分析：



8 点整的时候，时针较分针顺时针方向多 40 格。



设在满足题意时，时针走过 x 格，由图可得分针走过 40-x 格，所以时针、分针共走过 x+(40-x)=40 格。



举一反三 3 ：

① ：3 点过多少分时，时针和分针离“3” 字的距离相等，并且在“3”的两边？

分析：



3 点时，时针与分针的夹角是 90 度。



设 3 时 x 分时，时针和分针离“3”字的距离相等，并且在“3”的两边。

此时时针走过的角度是 0.5x 度，分针走过的角度是 60x 度。



② ：一只挂钟的时针与分针都指在 6 与 8 之间，巧的是钟面上的“7”字正好在时针与分针的正中央。这时是几点几分？

分析：

情况一：时针在 6 和 7 之间，分针在 7 和 8 之间。



设此时是 6 时 x 分，时针走过的角度是 0.5x 度，此时时针距离“7”的角度是 30-0.5x 度；分针走过的角度是 6x 度，分针距离“7”的角度是 6x-210 度。

因为“7”字正好在时针与分针的正中央，所以 30-0.5x=6x-210 。



情况二：时针在 7 和 8 之间，分针在 6 和 7 之间。



设此时是 7 时 x 分，时针走过的角度是 0.5x 度，此时时针距离“7”的角度是 0.5x 度；分针走过的角度是 6x 度，分针距离“7”的角度是 210-6x 度。

因为“7”字正好在时针与分针的正中央，所以 0.5x=210-6x 。



总结

1. 分针和时针的速度：分针速度为 1 小格/分（6 度/分），时针速度为 1/12 小格/分（0.5 度/分）。

2. 追及问题：若求分针追上时针（或分针超越时针）的时间，可根据追及时间 = 路程差÷速度差（速度差 = 分针速度 - 时针速度）来计算，路程差可以是小格数差或者角度差。

3. 相遇问题（对称情况）：当两针分布在某刻度两侧对称时，把问题转化为相遇问题，根据相遇时间 = 路程和÷速度和（速度和 = 分针速度 + 时针速度）计算，路程和同样可以是小格数和或者角度和。

由于钟表上的分针转动 1 小格，时针转动 1/12 小格，所以，钟面上的分针和时针总是分针追赶时针、两针重合、分针超过时针、分针追赶时针……周而复始的情形。因此，钟面上的有些问题可归结为行程中的追及、相遇问题。

希望通过今天的讲解，大家对钟面上的行程问题有了更深入的理解，能够在以后的学习中轻松应对这类题目！如果你还有其他疑问，欢迎在评论区留言讨论。

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