傅里叶：没有他的“变换”，就没有今天的人工智能

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傅里叶：没有他的“变换”，就没有今天的人工智能

原创  关注全球科研的 科学方程式  2025 年 03 月 17 日 15:51 北京

从 ChatGPT 发布以来，大语言模型（LLM）是所有人追逐的方向，无论是将其看作“万能神”或是人工智能应用的基础构件，其重要性毋庸置疑。而随着大语言模型扩展到多模态领域，就需要更多的工具来帮助其进行处理。

例如，要想将音频信号转换到频域，提取频率特征，供大语言模型进行语音识别、音频生成等任务；或是进行图像频域分析，帮助模型理解图像中的纹理、边缘等特征，辅助图像描述生成等多模态应用，其中不可或缺的一个数学工具就是“傅里叶变换”。甚至可以说，没有傅里叶变换，就不会有今天的人工智能应用。

还不仅如此，热、声、光、电……物理学众多分支学科都在以 200 多年前发现的“傅里叶变换”为工具，它影响了我们生活的方方面面。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier），这位生于两个多世纪前的法国数学家、物理学家，一生致力于数理研究，以他名字命名的研究成果奠定了后世、现代乃至未来许多尖端领域应用与发展的基础。



在这位伟大数学家诞辰 257 周年之际，让我们穿梭时光，一起走进傅里叶的世界。

No.1  命运多舛，从孤儿到教师和军人


9 岁成为孤儿，被教会收养

1768 年 3 月 21 日，在法国中部欧塞尔（Auxerre）的一个裁缝家庭里，诞下了他们的第 12 个孩子，取名让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶。不幸的是，在傅里叶 9 岁时父母双亡，在当地教会的抚养下，这个可怜的孤儿才得以生活。


傅里叶在童年即对数学产生了浓厚的兴趣

不久之后，他被送入小镇的军校就读。彼时，年少的傅里叶对数学萌生了浓厚兴趣。数学之于傅里叶，就像最有吸引力的玩具。而且，傅里叶发现，在他痴迷的数学背后，似乎还藏着更多未解的谜。

傅里叶曾有志成为炮兵，然而在那个出身仍是难以逾越鸿沟的环境下，他那并不高贵身份让他无缘炮兵这个当时的明星兵种。于是，傅里叶只得作罢，转而希望成为教师，其所就读的军校同意了他的申请，傅里叶成为了一名数学教师。

1789 年法国大革命爆发后，21 岁的傅里叶返居故里，继续教书。他热心政局，同情革命，在地方事务中成绩显著。1794 年傅里叶怀着对一代数学名师的崇拜来到巴黎高等师范学校（The Ecole Normale）就读，成为该校第一批学员，得到了拉格朗日（Lagrange），拉普拉斯（Laplace），蒙日（Monge）等当时著名数学家的指导。


巴黎高等师范学校

  
从左到右：拉格朗日（Lagrange），拉普拉斯（Laplace），蒙日（Monge）

1795 年，巴黎综合工科学校成立，蒙日任校长，他特别招收了一批数学教师进学校，傅里叶的名字也赫然在列。执教生涯除了带给傅里叶潜心研究的空间，也让他养成了简洁、直接的研究风格，他致力于让复杂的现象背后的原理简洁化，让每个方程都以最直接的方式表达其含义。


巴黎综合工科学校

1798 年，在校长蒙日的推荐下，傅里叶随拿破仑军队远征埃及。在那里，傅里叶担任了新成立的开罗（Cairo）埃及研究院（Institute Egypt）秘书，全面参与研究院负责的研究工作，并就工程和外交决策提供建议，还利用业余时间考虑数学和物理问题，深得拿破仑器重。


随拿破仑远征埃及

No.2  无心插柳，从热传导方程到傅里叶级数

1801 年，法国远征军失败而归，傅里叶也重返巴黎执教。三年的埃及军旅生涯未曾给傅里叶带来战功，却引燃了他后半生探索研究的热情。据说身在埃及时，炽热的沙漠让傅里叶对“热”产生了别样的情感和浓厚的兴趣，哪怕回到巴黎后，他也将房间弄得像烘箱一样。

当然，手握数学利器的傅里叶并不满足于“享受”热带来的感官体验，而是更进一步地去探究热背后地原理。却不曾想，这是个多么伟大的开端。

1803 年前后，他开始研究排成一条直线的有限个分离物体之间的热运动。1807 年底，他向巴黎科学院呈交了一篇题为《热的传播》（Mémoire sur la propagation de la chaleur）的论文，包括了热在诸如矩形、环状、球状、柱状、棱柱形特殊形状的连续物体中的传播问题，成功地推导出著名的热传导方程。此时，傅里叶可能还没有意识到，为了求解自己创立的方程，他给后世的数学、物理、以及诸多方面的技术理论与应用带了什么。

热传导方程在求解的过程中就带来了意外惊喜。他发现，解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而敏锐地预见每一个函数 f(t) 不论多么复杂，都可以由三角级数表示。或者说，任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。


三角级数现在被称为傅里叶级数，表明数学家们对傅里叶贡献的肯定和赞赏，它常作为正交级数的范例出现在数学分析中。

然而在面对带有棱角的信号时，这个方法尚不完美。为了推动这一问题的深入研究，法国科学院于 1810 年设立奖金，悬赏征求有关热在固体中传播问题的解答。1811 年傅里叶送上了重新修改后的论文《热在固体中的运动理论》，进一步将他的热传导结果推广到无界体中进行分析，并讨论了各种给定初始条件的问题，绘出了在不同条件下的积分法，得到著名的傅里叶积分公式等结果，一举获胜。



正弦和余弦函数图像几乎是我们最早接触到的周期函数，简洁、严密而又变化无穷，透射着数学那种纯粹的美（也许是惊恐的噩梦）。它存在于许多自然现象的背后，比如声音。不同的乐器演奏同一个音符时，为什么听起来会有明显的差别？通过研究发现，不同乐器声音的波形，并不是千篇一律的正弦波，而是在其波形上千差万别，从而带来听感的差异。

在崇尚简约真相的数学家眼里，复杂的对象往往都是由简单的成分依照一定的规律组合而来，既然波可以叠加和干涉，那么也一定能够拆分为简单的个体。傅里叶级数指出了这种拆分的方法，并且是可逆的。那么如果将这个过程逆转，想像一下我们得到了什么：用最简单的 0 和 1 表述出函数，再将其组合，加载在电流上，驱动振膜产生声音。

对！CD 、数字音频的编码和工作原理就是这样的。如果没有傅里叶级数，就没有“下载音乐”这个概念了。

No.3  顺手拈来，傅里叶变换由此诞生

不仅是傅里叶级数，醉心于热学的傅里叶为了解决自己提出的研究命题，还创造了许多数学工具，而这些工具在两个世纪后成为了人工智能发展的基石。

1822 年，傅里叶发表了《热的解析理论》。这是傅里叶数学和物理贡献的代表作，被认为是数学的经典文献之一，对数学和理论物理学的发展都产生了巨大的影响。著作提出了“将任意函数展开为三角级数”的理论，并在后来拓展为定义在实数上的函数。这种展开是函数表达方式的变换，并且通过变形之后能表达出更丰富的含义，也有更广泛的应用。于是便诞生了那个让无数理工学生又爱又恨的名字：傅里叶变换。

傅里叶变换有着鲜明的物理背景，例如光、电、声等的波形的傅里叶变换即为其频谱，为信号处理创造了极为便利的工具。



举个简单的例子：比如一群人在一起，我们希望做个简单的分类并登记，以便以后方便联系、组织和管理。那么我们只需要对所有人的 18 位身份证号做一个“变换”，比如“抽取前两位/四位/六位”，那么就可以瞬间形成来自同一个省、市、甚至区/县城的同乡会；而“抽取 7-14 位”，则可以区分年龄、属相和星座。对于音频信号，进行傅里叶变换能够让同频的声音在频谱图上形成一个尖峰。如果在进一步处理时只保留它，就实现了降噪；如果将这个部分消除，就有了伴唱音频的的“消原声”功能。对于图像信号，同频的部分则会形成一个亮点。如果对着人脸拍照，那么皱纹的部分在信号中通过傅里叶变化就成为了亮点。只要去除一定的亮点，再将其还原，这就是美颜的原理！

在更多的专业领域，傅里叶变换也是极为重要和高效的分析工具，可以说，只要与信息、信号有关的地方，都离不开傅里叶变换。

在处理信号和图像信息时，傅里叶变换可以快速提取高频信息，进而帮助模型更高效精准地学习图像特征。对语言模型而言，分析自然语言的周期性和层级结构尤为重要，这正是傅里叶分析的用武之地；同时，还可以对输入序列中的高频噪声和不重要成分做筛除处理，帮助语言模型更专注于重要信息。

面对神经网络，傅里叶变换可以实现压缩，在保持模型性能的同时，显著降低复杂度。此外，深度学习领域的卷积神经网络中，卷积操作本质与傅里叶变换也密切相关，当卷积核非常大的情况下，例如三维体数据或视频数据，通过频域计算实现卷积的计算效率更高。

No. 4  与热同行，200 年后依然名垂青史

如果说傅里叶前半生命运多舛，后半生则是顺风顺水。在开罗期间，傅里叶就因其卓越才能收到拿破仑器重。回到法国后，他还曾被任命为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员，又在 1808 年受封男爵。1822 年，傅里叶被选为法国科学院的终身秘书，这是极有权力的职位。1827 年，他被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员。


傅里叶之墓

1830 年 5 月 16 日，这位伟大的数学家在留给世间丰富而宝贵的知识财富后，离世而去。关于他离世的原因说法不一，但在所有光临过傅里叶家的人留下的记录中，他的房间都是“烤炉一样的温度”。埃及军旅生涯让傅里叶对“热”着迷，他一生执迷于对“热”的研究，认为“热”含有无上的力量，能够解决一切问题，包括健康。一种说法是，傅里叶总是用毯子裹着自己保温，欠佳的健康加上毯子的束缚，5 月 4 日他从楼梯上滚了下来，健康状况进一步恶化，他却拒绝就医，最终于 5 月 16 日离世。另一种说法则更加令人啼笑皆非：在他的家中，他身着暖和的衣服，坐在炉火旁，热死了。


铭刻埃菲尔铁塔

后世的人们用各种方法来表达对傅里叶的尊崇：1992 年 1 月 30 日发现的一颗位于小行星带的天体，即小行星 10101 ，被命名为傅里叶星 ；举世闻名的埃菲尔铁塔上，铭刻着七十二科学家和工程师的名字，傅里叶赫然在列；格勒诺布尔第一大学，一所在法国、欧洲乃至全世界都有很高声誉的科学、医学大学，也被誉为约瑟夫·傅里叶大学。

实际上，站在 200 多年后的视角来看，无论用怎样的词去褒扬傅里叶都是不过分的，因为他的研究成果对于纯粹数学、数学物理、乃至近现代甚至未来的发展，都是强大的推进器，他所展示的数学物理模型的方法和推演技巧更是为后世的在探索数学物理未知领域时树立了典范。

当我们在畅享 ChatGPT 所带来的的便捷时，一定记住这一点：没有傅里叶变换，就不会有今天的人工智能。



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